Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 82 км/ч, а вторую — со скоростью 43 км/ч. Найди среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Чтобы найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, нужно воспользоваться формулой для средней скорости \( v_{ср} \):
\[ v_{ср} = \frac{S}{t} \]
где \( S \) — общий путь, а \( t \) — общее время в пути.
Пусть общая длина пути \( S = 2d \) (половина пути \( d \) и вторая половина \( d \)).
Время, затраченное на первую половину пути: \[ t_1 = \frac{d}{82} \]
Время, затраченное на вторую половину пути: \[ t_2 = \frac{d}{43} \]
Общее время в пути: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{d}{82} + \frac{d}{43} \]
Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 82 и 43 равен \( 82 \cdot 43 \).
Приведем дроби к общему знаменателю: \[ t = \frac{d \cdot 43}{82 \cdot 43} + \frac{d \cdot 82}{43 \cdot 82} = \frac{43d + 82d}{82 \cdot 43} = \frac{125d}{82 \cdot 43} \]
Теперь подставим значение времени в формулу для средней скорости: \[ v_{ср} = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\frac{125d}{82 \cdot 43}} = 2d \cdot \frac{82 \cdot 43}{125d} = \frac{2 \cdot 82 \cdot 43}{125} \]
Теперь посчитаем: \[ v_{ср} = \frac{2 \cdot 3526}{125} \approx \frac{7052}{125} \approx 56.416 \text{ км/ч} \]
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составляет примерно \( 56.42 \) км/ч.
