Неравенство (x-3)(x-5)<0

Чтобы решить неравенство \((x - 3)(x - 5) < 0\), будем следовать пошаговому процессу. ### Шаг 1: Найти корни неравенства Для начала найдем корни выражения \((x - 3)(x - 5)\). Это делается путем приравнивания каждого множителя к нулю: 1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) 2. \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 3\) и \(x = 5\). ### Шаг 2: Разобить числовую прямую Теперь отметим эти корни на числовой прямой и разберем промежутки, которые они создают: - \((-\infty, 3)\) - \((3, 5)\) - \((5, +\infty)\) ### Шаг 3: Определить знак выражения в каждом промежутке Теперь выберем по одному числу из каждого промежутка и подставим его в выражение \((x - 3)(x - 5)\), чтобы узнать знак: 1. Для промежутка \((-\infty, 3)\): Пусть \(x = 0\). \[ (0 - 3)(0 - 5) = (-3)(-5) = 15 \quad (\text{положительное}) \] 2. Для промежутка \((3, 5)\): Пусть \(x = 4\). \[ (4 - 3)(4 - 5) = (1)(-1) = -1 \quad (\text{отрицательное}) \] 3. Для промежутка \((5, +\infty)\): Пусть \(x = 6\). \[ (6 - 3)(6 - 5) = (3)(1) = 3 \quad (\text{положительное}) \] ### Шаг 4: Подводим итоги Теперь мы можем подвести итоги по знакам в каждом из промежутков: - На промежутке \((-\infty, 3)\) — положительное значение. - На промежутке \((3, 5)\) — отрицательное значение. - На промежутке \((5, +\infty)\) — положительное значение. Так как нам нужно найти, где \((x - 3)(x - 5) < 0\), мы видим, что это происходит только на промежутке \((3, 5)\). ### Шаг 5: Записать решение Таким образом, ответом на неравенство \((x - 3)(x - 5) < 0\) будет: \[ x \in (3, 5) \] Это означает, что все значения \(x\) между 3 и 5 (не включая сами 3 и 5) удовлетворяют данному неравенству.