неравенство (x-3)(x-5)<0

Чтобы решить неравенство \((x - 3)(x - 5) < 0\), будем следовать пошаговому процессу.

Шаг 1: Найти корни неравенства

Для начала найдем корни выражения \((x - 3)(x - 5)\). Это делается путем приравнивания каждого множителя к нулю:

1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
2. \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 3\) и \(x = 5\).

Шаг 2: Разобить числовую прямую

Теперь отметим эти корни на числовой прямой и разберем промежутки, которые они создают:

• \((-\infty, 3)\)
• \((3, 5)\)
• \((5, +\infty)\)

Шаг 3: Определить знак выражения в каждом промежутке

Теперь выберем по одному числу из каждого промежутка и подставим его в выражение \((x - 3)(x - 5)\), чтобы узнать знак:

1. Для промежутка \((-\infty, 3)\): Пусть \(x = 0\). \[ (0 - 3)(0 - 5) = (-3)(-5) = 15 \quad (\text{положительное}) \]

2. Для промежутка \((3, 5)\): Пусть \(x = 4\). \[ (4 - 3)(4 - 5) = (1)(-1) = -1 \quad (\text{отрицательное}) \]

3. Для промежутка \((5, +\infty)\): Пусть \(x = 6\). \[ (6 - 3)(6 - 5) = (3)(1) = 3 \quad (\text{положительное}) \]

Шаг 4: Подводим итоги

Теперь мы можем подвести итоги по знакам в каждом из промежутков:

• На промежутке \((-\infty, 3)\) — положительное значение.
• На промежутке \((3, 5)\) — отрицательное значение.
• На промежутке \((5, +\infty)\) — положительное значение.

Так как нам нужно найти, где \((x - 3)(x - 5) < 0\), мы видим, что это происходит только на промежутке \((3, 5)\).

Шаг 5: Записать решение

Таким образом, ответом на неравенство \((x - 3)(x - 5) < 0\) будет:

\[ x \in (3, 5) \]

Это означает, что все значения \(x\) между 3 и 5 (не включая сами 3 и 5) удовлетворяют данному неравенству.