sin x +cos² x/2= sin² x/2
Для решения уравнения
\[ \sin x + \frac{\cos^2 x}{2} = \frac{\sin^2 x}{2} \]
давайте начнем с упрощения и преобразований.
Шаг 1: Перепишем уравнение
Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ 2\sin x + \cos^2 x = \sin^2 x \]
Шаг 2: Используем тригонометрические тождества
Мы знаем, что:
\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]
Подставим это в наше уравнение:
\[ 2\sin x + (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x \]
Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону
Теперь упростим уравнение, перенесли все в одну сторону:
\[ 2\sin x + 1 - \sin^2 x - \sin^2 x = 0 \]
Это можем переписать как:
\[ 2\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0 \]
Шаг 4: Упрощение
Преобразуем уравнение:
\[ -2\sin^2 x + 2\sin x + 1 = 0 \]
Для удобства запишем его в виде:
\[ 2\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0 \]
Шаг 5: Применяем формулу квадратного уравнения
Теперь это обычное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где:
- \(a = 2\),
- \(b = -2\),
- \(c = -1\).
Записываем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12. \]
Шаг 6: Находим корни уравнения
Корни находятся по формуле:
\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \]
Таким образом, мы получили два возможных значения:
- \(\sin x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\)
Шаг 7: Анализ значений
Для \(\sin x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\):
Это значение больше 1, что невозможно, так как функция синуса ограничена от -1 до 1.Для \(\sin x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\):
Это значение находится в диапазоне [-1, 1]. Теперь найдем его приближенное значение: \(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366\), что также допустимо.
Шаг 8: Находим углы x
С учетом диапазона синуса, находим значения предложения \(x\):
\[ x = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) \]
Поскольку синус - это периодическая функция, корни этого уравнения будут представлять всю серию значений, который будут включать углы:
\[ x_1 = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2k\pi \] \[ x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Заключение
Мы решили уравнение и нашли, что единственное реальное значение для \(\sin x\) можно получить только от второго корня. Периодическая природа синуса даёт множество решений.
