Sin x +cos² x/2= sin² x/2

Для решения уравнения \[ \sin x + \frac{\cos^2 x}{2} = \frac{\sin^2 x}{2} \] давайте начнем с упрощения и преобразований. ### Шаг 1: Перепишем уравнение Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 2\sin x + \cos^2 x = \sin^2 x \] ### Шаг 2: Используем тригонометрические тождества Мы знаем, что: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Подставим это в наше уравнение: \[ 2\sin x + (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x \] ### Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону Теперь упростим уравнение, перенесли все в одну сторону: \[ 2\sin x + 1 - \sin^2 x - \sin^2 x = 0 \] Это можем переписать как: \[ 2\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0 \] ### Шаг 4: Упрощение Преобразуем уравнение: \[ -2\sin^2 x + 2\sin x + 1 = 0 \] Для удобства запишем его в виде: \[ 2\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0 \] ### Шаг 5: Применяем формулу квадратного уравнения Теперь это обычное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где: - \(a = 2\), - \(b = -2\), - \(c = -1\). Записываем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12. \] ### Шаг 6: Находим корни уравнения Корни находятся по формуле: \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \] Таким образом, мы получили два возможных значения: 1. \(\sin x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) 2. \(\sin x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\) ### Шаг 7: Анализ значений 1. Для \(\sin x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\): Это значение больше 1, что невозможно, так как функция синуса ограничена от -1 до 1. 2. Для \(\sin x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\): Это значение находится в диапазоне [-1, 1]. Теперь найдем его приближенное значение: \(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366\), что также допустимо. ### Шаг 8: Находим углы x С учетом диапазона синуса, находим значения предложения \(x\): \[ x = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) \] Поскольку синус - это периодическая функция, корни этого уравнения будут представлять всю серию значений, который будут включать углы: \[ x_1 = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2k\pi \] \[ x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Заключение Мы решили уравнение и нашли, что единственное реальное значение для \(\sin x\) можно получить только от второго корня. Периодическая природа синуса даёт множество решений.