Сумма девяти членов арифметической прогрессии равна 36. при каком значении разности этой прогрессии произведение второго и четвертого членов будет минимальныи

Для решения данной задачи разберем её поэтапно. 1. **Определим элементы арифметической прогрессии**: Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность - как \( d \). Тогда \( n \)-й член арифметической прогрессии можно записать как: \[ a_n = a + (n-1) \cdot d \] Например, второй член будет: \[ a_2 = a + d \] Четвертый член будет: \[ a_4 = a + 3d \] 2. **Сумма первых девяти членов**: Сумма \( S_n \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии дается формулой: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1) d) \] Для девяти членов: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (2a + 8d) = 36 \] Упростим уравнение: \[ 9(2a + 8d) = 72 \] Разделим обе стороны на 9: \[ 2a + 8d = 8 \] Упростим это уравнение: \[ a + 4d = 4 \quad (1) \] 3. **Произведение второго и четвертого членов**: Теперь найдем произведение второго и четвертого членов, которое нам нужно минимизировать: \[ P = a_2 \cdot a_4 = (a + d)(a + 3d) \] Раскроем скобки: \[ P = a^2 + 3ad + ad + 3d^2 = a^2 + 4ad + 3d^2 \] Обозначим это как \( P(a, d) = a^2 + 4ad + 3d^2 \). 4. **Выразим \( a \) через \( d \)**: Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = 4 - 4d \] Подставим найденное значение \( a \) в выражение для \( P \): \[ P(4 - 4d, d) = (4 - 4d)^2 + 4(4 - 4d)d + 3d^2 \] Упростим это: \[ P = (16 - 32d + 16d^2) + (16d - 16d^2) + 3d^2 \] \[ P = 16 - 32d + 16d^2 + 16d - 16d^2 + 3d^2 \] \[ P = 16 - 16d + 3d^2 \] Теперь получим квадратное уравнение: \[ P = 3d^2 - 16d + 16 \] 5. **Минимизация**: Чтобы найти минимальное значение параболы \( P(d) \), нужно воспользоваться формулой для минимума квадратной функции \( ax^2 + bx + c \), где \( d = -\frac{b}{2a}\): \[ d = -\frac{-16}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] 6. **Подставим значение \( d \) в уравнение (1)** для нахождения \( a \): \[ a = 4 - 4 \cdot \frac{8}{3} = 4 - \frac{32}{3} = \frac{12}{3} - \frac{32}{3} = -\frac{20}{3} \] На этом этапе мы получили значения \( a \) и \( d \): \( d = \frac{8}{3} \) (разность) и \( a = -\frac{20}{3} \) (первый член). Таким образом, разность арифметической прогрессии, при которой произведение второго и четвертого членов будет минимальным, равна \( \frac{8}{3} \).