катер прошел от пункта А до пункта В, расстояние между которыми составляет 72 км пробыл в пункте В 30 минут вернулся обратно в пункт А через 7,5 часов после отплытия из пункта А.…

Для решения этой задачи давайте последовательно разберем все данные и подсчитаем нужные величины.

1. Дано:

   • Расстояние от пункта A до пункта B = 72 км
   • Время, проведенное в пункте B = 30 минут = 0,5 часа
   • Общее время в пути (отплытие, время на пункте B и возвращение) = 7,5 часов
   • Собственная скорость катера = 21 км/ч
   • Скорость течения реки = ?

2. Обозначим:

   • \( v_c = 21 \) км/ч (собственная скорость катера)
   • \( v_t \) - скорость течения реки (которую мы хотим найти)

3. Определим время, затраченное на движение вдоль и против течения реки:

   • Время, затраченное на пути от A до B: \[ v_{AB} = v_c + v_t \] \[ t_{AB} = \frac{72}{v_{AB}} = \frac{72}{21 + v_t} \]

   • Время, затраченное на пути от B до A: \[ v_{BA} = v_c - v_t \] \[ t_{BA} = \frac{72}{v_{BA}} = \frac{72}{21 - v_t} \]

4. Составим уравнение времени: Общее время в пути равно времени в пути от A до B плюс время в пути от B до A, плюс время, проведенное в B: \[ t_{AB} + t_{BA} + 0,5 = 7,5 \]

   Подставим ранее найденные выражения для времени: \[ \frac{72}{21 + v_t} + \frac{72}{21 - v_t} + 0,5 = 7,5 \]

5. Упростим уравнение: Переносим 0,5 в правую часть уравнения: \[ \frac{72}{21 + v_t} + \frac{72}{21 - v_t} = 7 \]

   Умножим обе стороны уравнения на \((21 + v_t)(21 - v_t)\) для устранения дробей: \[ 72(21 - v_t) + 72(21 + v_t) = 7(21 + v_t)(21 - v_t) \] Упростим левую часть: \[ 72 \cdot 21 - 72v_t + 72 \cdot 21 + 72v_t = 144 \cdot 21 \] А правую часть: \[ 7(441 - v_t^2) = 3087 - 7v_t^2 \]

   Приравняем две стороны: \[ 144 \cdot 21 = 3087 - 7v_t^2 \]

6. Решим уравнение на v_t: Прежде всего, найдем значение \(144 \cdot 21\): \[ 144 \cdot 21 = 3024 \] Тогда уравнение становится: \[ 3024 = 3087 - 7v_t^2 \] Переносим \(3024\) в правую часть: \[ 7v_t^2 = 3087 - 3024 \] \[ 7v_t^2 = 63 \] Теперь делим обе стороны на 7: \[ v_t^2 = 9 \implies v_t = 3 \]

7. Ответ: Скорость течения реки \(v_t\) равна 3 км/ч.

Теперь вы знаете, как решать подобные задачи!