Найдите корни уравнения: x²/x²+1=7x/x²+1

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1} \), начнем с приведения обеих сторон к общему знаменателю. В данном случае знаменатель у нас \( x^2 + 1 \), который одинаков для обеих частей. 1. **Убрать знаменатель**: Умножим обе части уравнения на \( x^2 + 1 \) (при условии, что \( x^2 + 1 \neq 0 \), что выполняется для всех \( x \), так как \( x^2 + 1 > 0 \) всегда): \[ x^2 = 7x \] 2. **Переносим все в одну сторону**: \[ x^2 - 7x = 0 \] 3. **Факторизуем уравнение**: \[ x(x - 7) = 0 \] 4. **Находим корни**: Приравняем каждую из частей к нулю: 1. \( x = 0 \) 2. \( x - 7 = 0 \) → \( x = 7 \) Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \] 5. **Проверка корней**: Теперь мы можем подставить найденные корни обратно в начальное уравнение, чтобы убедиться в их корректности. - Для \( x = 0 \): \[ \frac{0^2}{0^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0, \quad \frac{7 \cdot 0}{0^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0 \] Оба выражения равны, значит, \( x = 0 \) является корнем. - Для \( x = 7 \): \[ \frac{7^2}{7^2 + 1} = \frac{49}{49 + 1} = \frac{49}{50}, \quad \frac{7 \cdot 7}{7^2 + 1} = \frac{49}{49 + 1} = \frac{49}{50} \] Оба выражения также равны, значит, \( x = 7 \) тоже является корнем. **Ответ**: \( x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \)