Найдите корни уравнения: x²/x²+1=7x/x²+1
Чтобы найти корни уравнения \( \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1} \), начнем с приведения обеих сторон к общему знаменателю. В данном случае знаменатель у нас \( x^2 + 1 \), который одинаков для обеих частей.
Убрать знаменатель: Умножим обе части уравнения на \( x^2 + 1 \) (при условии, что \( x^2 + 1 \neq 0 \), что выполняется для всех \( x \), так как \( x^2 + 1 > 0 \) всегда):
\[ x^2 = 7x \]
Переносим все в одну сторону:
\[ x^2 - 7x = 0 \]
Факторизуем уравнение:
\[ x(x - 7) = 0 \]
Находим корни: Приравняем каждую из частей к нулю:
- \( x = 0 \)
- \( x - 7 = 0 \) → \( x = 7 \)
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \]
- Проверка корней: Теперь мы можем подставить найденные корни обратно в начальное уравнение, чтобы убедиться в их корректности.
Для \( x = 0 \):
\[ \frac{0^2}{0^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0, \quad \frac{7 \cdot 0}{0^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0 \]
Оба выражения равны, значит, \( x = 0 \) является корнем.
Для \( x = 7 \):
\[ \frac{7^2}{7^2 + 1} = \frac{49}{49 + 1} = \frac{49}{50}, \quad \frac{7 \cdot 7}{7^2 + 1} = \frac{49}{49 + 1} = \frac{49}{50} \]
Оба выражения также равны, значит, \( x = 7 \) тоже является корнем.
Ответ: \( x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \)
