y = - (x + 1) * (x - 2) ^ 2
Давайте рассмотрим задачу, где у нас есть уравнение:
\[ y = - (x + 1) * (x - 2)^2 \]
Мы будем разбирать это уравнение шаг за шагом.
Шаг 1: Понять структуру функции
Функция состоит из двух множителей:
- \( -(x + 1) \)
- \( (x - 2)^2 \)
Первый множитель показывает, что функция будет иметь отрицательный знак в передней части, что повлияет на форму параболы. Второй множитель — это квадратный член, который всегда неотрицателен, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
Шаг 2: Определить нули функции
Чтобы найти нули функции, приравняем \( y \) к нулю:
\[ 0 = - (x + 1) * (x - 2)^2 \]
Это равенство равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
\( - (x + 1) = 0 \)
\( x + 1 = 0 \)
\( x = -1 \)\( (x - 2)^2 = 0 \)
\( x - 2 = 0 \)
\( x = 2 \)
Таким образом, нули функции: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
Шаг 3: Исследовать знаки функции
Теперь рассмотрим знаки функции на интервалах, определенных нулями:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Выберем тестовые точки из каждого интервала.
Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y = -(-2 + 1)(-2 - 2)^2 = -(-1)(4) = 4 \] (положительно)
Для \( -1 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y = -(0 + 1)(0 - 2)^2 = -(1)(4) = -4 \] (отрицательно)
Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ y = -(3 + 1)(3 - 2)^2 = -4(1) = -4 \] (отрицательно)
Шаг 4: Построить график функции
Теперь мы знаем, что:
- Функция имеет нули в \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
- Функция положительна на интервале \( (-\infty, -1) \).
- Функция отрицательна на интервалах \( (-1, 2) \) и \( (2, +\infty) \).
График функции будет такой:
- Поднимается до нуля на интервале \( (-\infty, -1) \).
- Находит ноль в точке \( x = -1 \) и отрицателен до \( x = 2 \).
- Находит ноль в точке \( x = 2 \) и остается отрицательным.
Шаг 5: Определить характер ветвей
Так как у нас есть отрицательный коэффициент перед просто выражением \( (x + 1)(x - 2)^2 \), ветви параболы направлены вниз.
Заключение
Таким образом, с помощью шагов мы разобрали функцию \( y = - (x + 1)(x - 2)^2 \), нашли ее нули и установили знаки на интервалах. График функции имеет форму, открывающуюся вниз, с нулями в точках \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
