Найдите корни уравнения

Для решения уравнения, указанного на изображении: \[ \frac{1}{x} + \frac{2}{2x + 3} = 1 \] Следуем следующему пошаговому решению: ### Шаг 1: Приведение к общему знаменателю Выразим числовые части, чтобы можно было провести операции над ними. Общим знаменателем будет произведение знаменателей: \(x(2x + 3)\). Значит, уравнение будет выглядеть так: \[ \frac{2(2x + 3)}{x(2x + 3)} + \frac{x}{x(2x + 3)} = \frac{x(2x + 3)}{x(2x + 3)} \] ### Шаг 2: Объединение дробей Объединяем дроби с общим знаменателем: \[ \frac{2(2x + 3) + x}{x(2x + 3)} = \frac{x(2x + 3)}{x(2x + 3)} \] ### Шаг 3: Упростите числитель Упростим числитель: \[ 2(2x + 3) + x = 4x + 6 + x = 5x + 6 \] Теперь у нас уравнение: \[ \frac{5x + 6}{x(2x + 3)} = 1 \] ### Шаг 4: Перемножение крест-накрест Для начала умножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дроби: \[ 5x + 6 = x(2x + 3) \] ### Шаг 5: Раскрытие скобок и приведение подобного Раскроем скобки в правой части: \[ 5x + 6 = 2x^2 + 3x \] Приведем все к одному виду: \[ 0 = 2x^2 + 3x - 5x - 6 \] Упростим: \[ 2x^2 - 2x - 6 = 0 \] ### Шаг 6: Деление на общий множитель Упростим уравнение, разделив каждую часть на 2: \[ x^2 - x - 3 = 0 \] ### Шаг 7: Решение квадратного уравнения Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \). Находим дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 \] Подставляем значения в формулу корней: \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \] ### Шаг 8: Ответ Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \]