Найдите корни уравнения

Для решения уравнения, указанного на изображении:

\[ \frac{1}{x} + \frac{2}{2x + 3} = 1 \]

Следуем следующему пошаговому решению:

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Выразим числовые части, чтобы можно было провести операции над ними. Общим знаменателем будет произведение знаменателей: \(x(2x + 3)\).

Значит, уравнение будет выглядеть так:

\[ \frac{2(2x + 3)}{x(2x + 3)} + \frac{x}{x(2x + 3)} = \frac{x(2x + 3)}{x(2x + 3)} \]

Шаг 2: Объединение дробей

Объединяем дроби с общим знаменателем:

\[ \frac{2(2x + 3) + x}{x(2x + 3)} = \frac{x(2x + 3)}{x(2x + 3)} \]

Шаг 3: Упростите числитель

Упростим числитель:

\[ 2(2x + 3) + x = 4x + 6 + x = 5x + 6 \]

Теперь у нас уравнение:

\[ \frac{5x + 6}{x(2x + 3)} = 1 \]

Шаг 4: Перемножение крест-накрест

Для начала умножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дроби:

\[ 5x + 6 = x(2x + 3) \]

Шаг 5: Раскрытие скобок и приведение подобного

Раскроем скобки в правой части:

\[ 5x + 6 = 2x^2 + 3x \]

Приведем все к одному виду:

\[ 0 = 2x^2 + 3x - 5x - 6 \]

Упростим:

\[ 2x^2 - 2x - 6 = 0 \]

Шаг 6: Деление на общий множитель

Упростим уравнение, разделив каждую часть на 2:

\[ x^2 - x - 3 = 0 \]

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \).

Находим дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 \]

Подставляем значения в формулу корней:

\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \]

Шаг 8: Ответ

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \]