Найдите значение выражения при x = sqrt(20) , y = sqrt(0, 8) . ((4x)/y + y/x + 4) * 1/((2x + y) ^ 2)

Чтобы найти значение выражения \(((4x)/y + y/x + 4) \cdot \frac{1}{(2x + y) ^ 2}\) при \(x = \sqrt{20}\) и \(y = \sqrt{0.8}\), давайте последовательно подставим значения переменных и решим шаг за шагом. ### Шаг 1: Подставим значения \(x\) и \(y\) - \(x = \sqrt{20}\) - \(y = \sqrt{0.8}\) ### Шаг 2: Упростим \(y\) Для удобства давайте упростим \(y\): \[ y = \sqrt{0.8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \] ### Шаг 3: Подставим в выражение Теперь подставим \(x\) и \(y\) в выражение: \[ \left( \frac{4x}{y} + \frac{y}{x} + 4 \right) \cdot \frac{1}{(2x + y) ^ 2}. \] ### Шаг 4: Рассчитаем \(\frac{4x}{y}\) Рассмотрим \(\frac{4x}{y}\): \[ \frac{4x}{y} = \frac{4 \cdot \sqrt{20}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 4 \cdot \sqrt{20} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20. \] ### Шаг 5: Рассчитаем \(\frac{y}{x}\) Теперь \(\frac{y}{x}\): \[ \frac{y}{x} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0.2. \] ### Шаг 6: Подставим всё обратно Теперь подставим значения в выражение: \[ \left( 20 + 0.2 + 4 \right) = 24.2. \] ### Шаг 7: Рассчитаем \(2x + y\) Теперь рассчитаем \(2x + y\): \[ 2x = 2\sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}. \] \[ y = \frac{2}{\sqrt{5}}. \] Объединим: \[ 2x + y = 4\sqrt{5} + \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 2}{\sqrt{5}} = \frac{20 + 2}{\sqrt{5}} = \frac{22}{\sqrt{5}}. \] ### Шаг 8: Рассчитаем \((2x + y)^2\) Теперь найдём \((2x + y)^2\): \[ (2x + y)^2 = \left(\frac{22}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{484}{5}. \] ### Шаг 9: Полное выражение Теперь соберем всё вместе: \[ (24.2) \cdot \frac{1}{\frac{484}{5}} = 24.2 \cdot \frac{5}{484} = \frac{121}{484}. \] ### Шаг 10: Итоговое значение Теперь упростим \(\frac{121}{484}\): \[ \frac{121}{484} = \frac{1}{4} \text{ (поскольку } 121 = 11^2 \text{ и } 484 = 2^2 \times 11^2). \] ### Ответ Таким образом, значение выражения при \(x = \sqrt{20}\) и \(y = \sqrt{0.8}\) равно \(\frac{1}{4}\).