Какую долю скорости света должна составлять скорость частицы, чтобы её кинетическая энергия была равна её энергии покоя?
Для того чтобы решить задачу, давайте вспомним несколько ключевых понятий из специальной теории относительности.
Энергия покоя (\(E_0\)) частицы выражается формулой: \[ E_0 = m_0 c^2, \] где \(m_0\) — это масса частицы в состоянии покоя, а \(c\) — скорость света (примерно \(3 \times 10^8 \text{ м/с}\)).
Кинетическая энергия (\(K\)) движущейся частицы в специальной теории относительности вычисляется по формуле: \[ K = E - E_0, \] где \(E\) — полная энергия частицы.
Полная энергия частицы, движущейся со скоростью \(v\), выражается как: \[ E = \gamma m_0 c^2, \] где \(\gamma\) — это коэффициент Лоренца, определяемый как: \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}. \]
Таким образом, кинетическая энергия выражается как: \[ K = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1) m_0 c^2. \]
Теперь, чтобы найти скорость \(v\) частицы, при которой её кинетическая энергия равна энергии покоя, нужно поставить \(K = E_0\): \[ (\gamma - 1) m_0 c^2 = m_0 c^2. \]
Сократив \(m_0 c^2\) (при этом \(m_0 \neq 0\)), получаем: \[ \gamma - 1 = 1. \] Следовательно, \[ \gamma = 2. \]
Теперь подставим значение \(\gamma\): \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} = 2. \]
Введите уравнение: \[ 2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}. \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 4 = \frac{1}{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}. \]
Переписывая его, получаем: \[ 1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]
Следовательно: \[ \left(\frac{v}{c}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \]
Теперь извлечем квадратный корень: \[ \frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Таким образом, скорость частицы должна составлять: \[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} c \approx 0.866 c. \]
Ответ: Скорость частицы должна составлять примерно \(0.866\) скорости света.
