4x

Для решения и понимания задачи, давайте рассмотрим её шаг за шагом:

1. Определение квадратного трёхчлена:

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида \( ax^2 + bx + c \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, и \( a \neq 0 \).

2. Количество корней квадратного трёхчлена:

Количество корней квадратного трёхчлена зависит от дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

• Если \( D > 0 \), у уравнения два различных действительных корня.
• Если \( D = 0 \), у уравнения один (двойной) действительный корень.
• Если \( D < 0 \), действительных корней нет (корни комплексные).

3. Покажем на примере выражения \( 12x^2 + 3x^2 \):

Сначала упростим выражение:

\[ 12x^2 + 3x^2 = 15x^2 \]

Это квадратный трёхчлен, где \( a = 15 \), \( b = 0 \), \( c = 0 \).

4. Теорема о разложении на множители:

Теорема о корнях квадратного трёхчлена: если трёхчлен имеет действительный корень, он может быть разложен на множители. Рассмотрим квадратный трёхчлен \( 15x^2 \):

\[ 15x^2 = 15x \cdot x = 0 \]

5. Применим теорему:

Сформулируем и докажем теорему о разложении квадратного трёхчлена на множители:

• Трёхчлен разлагается на множители, если он имеет по крайней мере один корень.

6. Пример нахождения корней:

Для квадратного трёхчлена \( 15x^2 \) у нас есть:

\[ a = 15, \quad b = 0, \quad c = 0 \]

Рассчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \times 15 \times 0 = 0 \]

Итак, \( D = 0 \), следовательно, у нас один (двойной) корень:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0}{30} = 0 \]

Таким образом, \( 15x^2 \) имеет один корень \( x = 0 \), и разлагается как \( 15x(x) \).

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как работают квадратные трёхчлены!