x^2<1 какое верное неравенство

Чтобы решить неравенство \( x^2 < 1 \), следуем нескольким шагам.

Шаг 1: Перепишем неравенство

Начнем с неравенства: \[ x^2 < 1 \]

Шаг 2: Приведем неравенство к более удобному виду

Мы можем вычесть 1 из обеих сторон, чтобы получить: \[ x^2 - 1 < 0 \]

Шаг 3: Разложим на множители

Далее, мы можем разложить левую часть на множители. Заметим, что \( x^2 - 1 \) можно представить как разность квадратов: \[ (x - 1)(x + 1) < 0 \]

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни этого произведения находятся при равенстве каждого множителя к нулю: \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]

Таким образом, уравнение \( (x - 1)(x + 1) = 0 \) имеет корни \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Шаг 5: Анализируем знак произведения

Теперь, чтобы понять, при каких значения \( x \) произведение \( (x - 1)(x + 1) \) меньше нуля, рассмотрим промежутки, определяемые найденными корнями:

• Интервал \( (-\infty, -1) \)
• Интервал \( (-1, 1) \)
• Интервал \( (1, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения в каждом из этих интервалов:

1. Интервал \( (-\infty, -1) \):

   • Пусть \( x = -2 \): \[ (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0 \quad \text{(знак положительный)} \]

2. Интервал \( (-1, 1) \):

   • Пусть \( x = 0 \): \[ (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 < 0 \quad \text{(знак отрицательный)} \]

3. Интервал \( (1, +\infty) \):

   • Пусть \( x = 2 \): \[ (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 > 0 \quad \text{(знак положительный)} \]

Шаг 6: Запишем ответ

Таким образом, неравенство \( (x - 1)(x + 1) < 0 \) верно только в интервале: \[ (-1, 1) \]

Итог

Ответ на неравенство \( x^2 < 1 \) в виде интервала: \[ \boxed{(-1, 1)} \]