(X+9)(x-2)-(x-2)>0
Чтобы решить неравенство \((X+9)(x-2)-(x-2)>0\), давайте пройдемся по шагам.
Шаг 1: Упростим выражение
Первым шагом мы можем вынести общий множитель \((x-2)\) за скобки: \[ (x+9)(x-2) - (x-2) = (x-2)((x+9) - 1) \]
Преобразуем выражение в скобках: \[ (x+9) - 1 = x + 8 \]
Таким образом, мы можем переписать неравенство следующим образом: \[ (x-2)(x+8) > 0 \]
Шаг 2: Найдем нули произведения
Для решения неравенства найдем значения \(x\), при которых выражение \((x-2)(x+8) = 0\): \[ x-2 = 0 \implies x = 2 \] \[ x+8 = 0 \implies x = -8 \]
Теперь у нас есть два ключевых значения: \(x = -8\) и \(x = 2\).
Шаг 3: Определим интервалы
Эти нули делят числовую прямую на три интервала:
- \((-∞, -8)\)
- \((-8, 2)\)
- \((2, +∞)\)
Шаг 4: Проверим знаки в каждом интервале
Давайте проверим знак произведения \((x-2)(x+8)\) на каждом из интервалов.
Интервал \((-∞, -8)\):
- Выберем, например, \(x = -9\): \[ (-9-2)(-9+8) = (-11)(-1) = 11 > 0 \]
Интервал \((-8, 2)\):
- Выберем, например, \(x = 0\): \[ (0-2)(0+8) = (-2)(8) = -16 < 0 \]
Интервал \((2, +∞)\):
- Выберем, например, \(x = 3\): \[ (3-2)(3+8) = (1)(11) = 11 > 0 \]
Шаг 5: Запишем решение
Теперь, учитывая, что мы ищем когда \((x-2)(x+8) > 0\), мы получаем:
- Результат положителен на интервалах \((-∞, -8)\) и \((2, +∞)\).
Таким образом, решение неравенства \((X+9)(x-2)-(x-2)>0\) можно записать в виде интервалов: \[ (-∞, -8) \cup (2, +∞) \]
Итог
Неравенство выполняется для всех \(x < -8\) и \(x > 2\). Ответ: \((-∞, -8) \cup (2, +∞)\).
