Найдите сумму восьми первых членов арифметической прогрессии xn,если х2=7,х4=-1

Для решения задачи необходимо найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии (АП) с заданными условиями \( x_2 = 7 \) и \( x_4 = -1 \).

Шаг 1: Определение членов прогрессии

Арифметическая прогрессия имеет следующий вид: \[ x_n = a + (n - 1) d \] где:

• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( d \) — разность прогрессии,
• \( n \) — номер члена.

Давайте сначала запишем уравнения для известных членов:

Для \( x_2 = 7 \): \[ x_2 = a + (2 - 1)d \implies a + d = 7 \quad (1) \]

Для \( x_4 = -1 \): \[ x_4 = a + (4 - 1)d \implies a + 3d = -1 \quad (2) \]

Шаг 2: Система уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + d = 7 \)
2. \( a + 3d = -1 \)

Чтобы найти \( a \) и \( d \), мы можем выразить одно из уравнений через другое. Выразим \( a \) из уравнения (1): \[ a = 7 - d \]

Теперь подставим это значение в уравнение (2): \[ (7 - d) + 3d = -1 \] Упрощая это, получаем: \[ 7 - d + 3d = -1 \] \[ 7 + 2d = -1 \] \[ 2d = -1 - 7 \] \[ 2d = -8 \] \[ d = -4 \]

Теперь подставим \( d = -4 \) обратно в уравнение (1) для нахождения \( a \): \[ a + d = 7 \implies a - 4 = 7 \implies a = 7 + 4 = 11 \]

Шаг 3: Нахождение первых восьми членов

Теперь мы знаем, что:

• \( a = 11 \)
• \( d = -4 \)

Посчитаем первые восемь членов AП: \[ \begin{align*} x_1 & = a = 11, \\ x_2 & = a + d = 11 - 4 = 7, \\ x_3 & = a + 2d = 11 + (-8) = 3, \\ x_4 & = a + 3d = 11 - 12 = -1, \\ x_5 & = a + 4d = 11 - 16 = -5, \\ x_6 & = a + 5d = 11 - 20 = -9, \\ x_7 & = a + 6d = 11 - 24 = -13, \\ x_8 & = a + 7d = 11 - 28 = -17. \end{align*} \]

Шаг 4: Нахождение суммы восьми первых членов

Теперь, когда мы знаем все восемь членов, можем найти их сумму: \[ S_8 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 \] Подставим значения: \[ S_8 = 11 + 7 + 3 - 1 - 5 - 9 - 13 - 17 \]

Теперь вычислим сумму: \[ S_8 = 11 + 7 + 3 - 1 - 5 - 9 - 13 - 17 = 11 + 7 + 3 - 1 - 5 - 9 - 13 - 17 = 11 + 10 - 1 - 5 - 9 - 13 - 17 = 1 - 5 - 9 - 13 - 17 = -4 - 9 - 13 - 17 = -13 - 13 - 17 = -26 - 17 = -43 \] Таким образом, \[ S_8 = -43 \]

Ответ

Сумма восьми первых членов арифметической прогрессии равна \(-43\).