Минимальное потребление материала для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объёмом в 250 см кубических . а)каких размеров должна быть банка ,чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала? б)для круглого основания используется материал ,цена 1 см в квадрате ,которого равна 0,05 рублей ,а для боковой поверхности используется материал ,цена 1 см в квадрате,которого равна 0,12 рубля,какие размеры должна иметь точка ,чтобы затраты на ее изготовление были минимальные .

Чтобы решить данную задачу, нужно учитывать некоторые основные формулы и свойства геометрических фигур, в частности, цилиндра. ### а) Минимальное потребление материала для цилиндра 1. **Объем цилиндра**: Объем V цилиндра можно выразить через его радиус \( r \) и высоту \( h \): \[ V = \pi r^2 h \] В данном случае \( V = 250 \) см³. 2. **Площадь поверхности цилиндра**: Площадь полной поверхности цилиндра \( S \) состоит из площади двух кругов (оснований) и боковой поверхности: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \] 3. **Выразим высоту через радиус, используя объем**: Из формулы объема: \[ h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{250}{\pi r^2} \] 4. **Подставим \( h \) в формулу площади**: Подставив \( h \) в формулу для площади, получим: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{250}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{500}{r} \] 5. **Найдем производную и найдем минимум**: Чтобы минимизировать площадь, найдем производную \( S \) по \( r \): \[ S' = 4\pi r - \frac{500}{r^2} \] Установим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 4\pi r - \frac{500}{r^2} = 0 \] Умножим обе стороны на \( r^2 \): \[ 4\pi r^3 = 500 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{500}{4\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \left(\frac{125}{\pi}\right)^{1/3} \] Вычислив значение радиуса, получим: \[ r \approx 3.78 \text{ см} \] Теперь подставим значение \( r \) для нахождения высоты \( h \): \[ h = \frac{250}{\pi (3.78)^2} \approx 18.95 \text{ см} \] Таким образом, размеры банки должны составлять примерно \( r \approx 3.78 \) см и \( h \approx 18.95 \) см. ### б) Минимизация затрат 1. **Расчет плоскостей**: Теперь нам нужно рассчитать затраты на материал: - Площадь основания: \( S_{осн} = 2\pi r^2 \) - Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 2\pi r h \) 2. **Затраты на материал**: Стоимость \( C \) можно выразить как: \[ C = 0.05 \times S_{осн} + 0.12 \times S_{бок} \] Подставим в формулу: \[ C = 0.05 \times 2\pi r^2 + 0.12 \times 2\pi r h \] Подставим \( h \): \[ C = 0.1\pi r^2 + 0.24\pi r \left(\frac{250}{\pi r^2}\right) = 0.1\pi r^2 + 60/r \] Теперь нам нужно минимизировать функцию: \[ C = 0.1\pi r^2 + \frac{60}{r} \] 3. **Найдем производную и найдем минимум**: Найдем производную \( C' \): \[ C' = 0.2\pi r - \frac{60}{r^2} \] Установим производную равной нулю: \[ 0.2\pi r - \frac{60}{r^2} = 0 \] Умножим обе стороны на \( r^2 \): \[ 0.2\pi r^3 = 60 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{60}{0.2\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \left(\frac{300}{\pi}\right)^{1/3} \] 4. **Посчитаем значение**: Примерно: \[ r \approx 4.30 \text{ см} \] 5. **Найдем \( h \)**: Подставим \( r \) обратно для нахождения \( h \): \[ h \approx \frac{250}{\pi (4.30)^2} \approx 12.18 \text{ см} \] Таким образом, для минимизации затрат размеры должны составлять примерно \( r \approx 4.30 \) см и \( h \approx 12.18 \) см.