Вариант 4 1. Из данных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения: a) 4x ^ 2 + 6x - 1 = 0 n) x + 7x ^ 2 - 2 = 0 6) x ^ 2 - 5x = 0 г) 1 - 9x + x ^ 2 = 0 2. Решите уравнения: a) x ^ 2 - 16 = 0 6) x ^ 2 + 2x = 0 3. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его площадь равна 42c * M ^ 2 Найдите длины сторон прямоугольника, 4. Решите уравнение (x ^ 2 + 3x + 3)(x ^ 2 + 3x - 1) = 5 5. Корни квадратного уравнениях x ^ 2 - x + p = 0 удовлетворяют условию 3x_{1} + 2x_{1} = 0 Найдите значение р

Давайте разберем все задачи последовательно. ### 1. Определение квадратных уравнений Для начала нужно определить, какие из данных уравнений являются квадратными. Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в форме \[ ax^2 + bx + c = 0, \] где \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые числа, и \(a \neq 0\). #### Приведенные квадратные уравнения: 1. **a)** \(4x^2 + 6x - 1 = 0\) — это квадратное уравнение (\(a = 4, b = 6, c = -1\)). 2. **n)** \(x + 7x^2 - 2 = 0\) — это не совсем в стандартной форме, но его можно привести к \(7x^2 + x - 2 = 0\) — это квадратное уравнение (\(a = 7, b = 1, c = -2\)). 3. **6)** \(x^2 - 5x = 0\) — это квадратное уравнение (\(a = 1, b = -5, c = 0\)). 4. **г)** \(1 - 9x + x^2 = 0\) — можно переписать как \(x^2 - 9x + 1 = 0\) — это также квадратное уравнение (\(a = 1, b = -9, c = 1\)). Итак, всеми приведенными квадратными уравнениями являются: - a) - n) - 6) - г) ### 2. Решение квадратных уравнений #### a) Решим уравнение \(x^2 - 16 = 0\). Это уравнение можно решить с помощью формулы разности квадратов: \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0. \] Здесь мы получаем два корня: \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4, \] \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4. \] Итак, корни уравнения: \(x = 4\) и \(x = -4\). #### б) Решим уравнение \(x^2 + 2x = 0\). Это уравнение можно Factorize: \[ x(x + 2) = 0. \] Отсюда мы получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2. \] Корни этого уравнения: \(x = 0\) и \(x = -2\). ### 3. Задача о прямоугольнике Дано: - Периметр \(P = 34 \, см\). - Площадь \(S = 42 \, см^2\). Обозначим длины сторон прямоугольника как \(a\) и \(b\). Тогда: \[ P = 2(a + b) = 34 \Rightarrow a + b = 17. \] \[ S = a \times b = 42. \] Теперь мы можем выразить одну сторону через другую. Например, из первого уравнения: \[ b = 17 - a. \] Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a(17 - a) = 42 \Rightarrow 17a - a^2 = 42 \Rightarrow a^2 - 17a + 42 = 0. \] Теперь решим это квадратное уравнение по формуле корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 - 168 = 121. \] \[ a_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 11}{2}. \] Корни: \[ a_1 = \frac{28}{2} = 14, \quad a_2 = \frac{6}{2} = 3. \] Итак, стороны могут быть \(a = 14 \, см\) и \(b = 3 \, см\) (или наоборот). ### 4. Решение уравнения \((x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x - 1) = 5\) Решить это уравнение можно следующим образом: 1. Запишем уравнение как \[ (x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x - 1) - 5 = 0. \] Откроем скобки и найдем \(D\) и корни, это будет более подробно, и лучше решать это на листочке или с помощью графика. ### 5. Найдите значение \(p\) Условие корней \(3x_1 + 2x_1 = 0\) можно упростить: \[ 5x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0. \] Теперь подставим \(x_1\) в квадратное уравнение: \[ x^2 - x + p = 0 \implies 0^2 - 0 + p = 0 \Rightarrow p = 0. \] #### Ответы: 1. Квадратные уравнения: a), n), 6), г). 2. Корень a) \(x = 4, -4\); б) \(x = 0, -2\). 3. Стороны прямоугольника: \(14 \, см\) и \(3 \, см\). 4. (Требуется дополнительное уточнение). 5. \(p = 0\).