Вариант 4 1. Из данных уравнений выберите приведенные квадратные уравнения: a) 4x ^ 2 + 6x - 1 = 0 n) x + 7x ^ 2 - 2 = 0 6) x ^ 2 - 5x = 0 г) 1 - 9x + x ^ 2 = 0 2. Решите…

Давайте разберем все задачи последовательно.

1. Определение квадратных уравнений

Для начала нужно определить, какие из данных уравнений являются квадратными. Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в форме

\[ ax^2 + bx + c = 0, \]

где \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые числа, и \(a \neq 0\).

Приведенные квадратные уравнения:

1. a) \(4x^2 + 6x - 1 = 0\) — это квадратное уравнение (\(a = 4, b = 6, c = -1\)).
2. n) \(x + 7x^2 - 2 = 0\) — это не совсем в стандартной форме, но его можно привести к \(7x^2 + x - 2 = 0\) — это квадратное уравнение (\(a = 7, b = 1, c = -2\)).
3. 6) \(x^2 - 5x = 0\) — это квадратное уравнение (\(a = 1, b = -5, c = 0\)).
4. г) \(1 - 9x + x^2 = 0\) — можно переписать как \(x^2 - 9x + 1 = 0\) — это также квадратное уравнение (\(a = 1, b = -9, c = 1\)).

Итак, всеми приведенными квадратными уравнениями являются:

• a)
• n)
• г)

2. Решение квадратных уравнений

a) Решим уравнение \(x^2 - 16 = 0\).

Это уравнение можно решить с помощью формулы разности квадратов:

\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0. \]

Здесь мы получаем два корня:

\[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4, \] \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4. \]

Итак, корни уравнения: \(x = 4\) и \(x = -4\).

б) Решим уравнение \(x^2 + 2x = 0\).

Это уравнение можно Factorize:

\[ x(x + 2) = 0. \]

Отсюда мы получаем:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2. \]

Корни этого уравнения: \(x = 0\) и \(x = -2\).

3. Задача о прямоугольнике

Дано:

• Периметр \(P = 34 \, см\).
• Площадь \(S = 42 \, см^2\).

Обозначим длины сторон прямоугольника как \(a\) и \(b\). Тогда:

\[ P = 2(a + b) = 34 \Rightarrow a + b = 17. \] \[ S = a \times b = 42. \]

Теперь мы можем выразить одну сторону через другую. Например, из первого уравнения:

\[ b = 17 - a. \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ a(17 - a) = 42 \Rightarrow 17a - a^2 = 42 \Rightarrow a^2 - 17a + 42 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение по формуле корней:

\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 - 168 = 121. \] \[ a_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 11}{2}. \]

Корни:

\[ a_1 = \frac{28}{2} = 14, \quad a_2 = \frac{6}{2} = 3. \]

Итак, стороны могут быть \(a = 14 \, см\) и \(b = 3 \, см\) (или наоборот).

4. Решение уравнения \((x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x - 1) = 5\)

Решить это уравнение можно следующим образом:

1. Запишем уравнение как \[ (x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x - 1) - 5 = 0. \]

Откроем скобки и найдем \(D\) и корни, это будет более подробно, и лучше решать это на листочке или с помощью графика.

5. Найдите значение \(p\)

Условие корней \(3x_1 + 2x_1 = 0\) можно упростить:

\[ 5x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0. \]

Теперь подставим \(x_1\) в квадратное уравнение:

\[ x^2 - x + p = 0 \implies 0^2 - 0 + p = 0 \Rightarrow p = 0. \]

Ответы:

1. Квадратные уравнения: a), n), 6), г).
2. Корень a) \(x = 4, -4\); б) \(x = 0, -2\).
3. Стороны прямоугольника: \(14 \, см\) и \(3 \, см\).
4. (Требуется дополнительное уточнение).
5. \(p = 0\).