Площадь прямоугольного треугольника равна 150м². Найдите кареты, если их сумма равна 40м

Для решения задачи, давайте начнем с того, что мы знаем о прямоугольном треугольнике и его площади.

1. Формула площади прямоугольного треугольника.
   Площадь \( A \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — катеты (длину).

2. Дано:

   • Площадь \( A = 150 \, \text{м}^2 \)
   • Сумма катетов \( a + b = 40 \, \text{м} \)

3. Подставим известные значения в формулу. Из уравнения для площади получаем: \[ 150 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Умножим обе стороны на 2: \[ 300 = a \cdot b \quad (1) \]

4. Теперь у нас есть система уравнений:

   • \( a + b = 40 \quad (2) \)
   • \( a \cdot b = 300 \quad (1) \)

5. Выразим один катет через другой.
   Из уравнения (2) выразим \( b \): \[ b = 40 - a \]

6. Подставим это выражение во второе уравнение.
   Подставим \( b \) из (2) в (1): \[ a \cdot (40 - a) = 300 \] Раскроем скобки: \[ 40a - a^2 = 300 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 40a + 300 = 0 \]

7. Теперь решим квадратное уравнение.
   Используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D = 1600 - 1200 = 400 \] Теперь находим корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{40 \pm 20}{2} \]

   Нахождение корней:

   1. \( a_1 = \frac{60}{2} = 30 \)
   2. \( a_2 = \frac{20}{2} = 10 \)

   Таким образом, у нас есть два значения для катетов:

   • Если \( a = 30 \), то \( b = 10 \)
   • Если \( a = 10 \), то \( b = 30 \)

8. Ответ:
   Катеты треугольника равны \( 30 \, \text{м} \) и \( 10 \, \text{м} \).