Площадь прямоугольного треугольника равна 150м². Найдите кареты, если их сумма равна 40м

Для решения задачи, давайте начнем с того, что мы знаем о прямоугольном треугольнике и его площади. 1. **Формула площади прямоугольного треугольника.** Площадь \( A \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — катеты (длину). 2. **Дано:** - Площадь \( A = 150 \, \text{м}^2 \) - Сумма катетов \( a + b = 40 \, \text{м} \) 3. **Подставим известные значения в формулу.** Из уравнения для площади получаем: \[ 150 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Умножим обе стороны на 2: \[ 300 = a \cdot b \quad (1) \] 4. **Теперь у нас есть система уравнений:** - \( a + b = 40 \quad (2) \) - \( a \cdot b = 300 \quad (1) \) 5. **Выразим один катет через другой.** Из уравнения (2) выразим \( b \): \[ b = 40 - a \] 6. **Подставим это выражение во второе уравнение.** Подставим \( b \) из (2) в (1): \[ a \cdot (40 - a) = 300 \] Раскроем скобки: \[ 40a - a^2 = 300 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 40a + 300 = 0 \] 7. **Теперь решим квадратное уравнение.** Используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D = 1600 - 1200 = 400 \] Теперь находим корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{40 \pm 20}{2} \] **Нахождение корней:** 1. \( a_1 = \frac{60}{2} = 30 \) 2. \( a_2 = \frac{20}{2} = 10 \) Таким образом, у нас есть два значения для катетов: - Если \( a = 30 \), то \( b = 10 \) - Если \( a = 10 \), то \( b = 30 \) 8. **Ответ:** Катеты треугольника равны \( 30 \, \text{м} \) и \( 10 \, \text{м} \).