1. Неравенства и системы неравенств С-2. Рациональные неравенства Вариант 1 1. Решите неравенство методом интервалов: a) (x - 1)(x + 9) > 0; б) -х2 - 12x < 0; B) x2 - 14x + 33 ≤…

Чтобы понять решение предложенных задач по неравенствам и системам неравенств, разберём каждую из них шаг за шагом.

1. Решите неравенство методом интервалов:

a) \((x - 1)(x + 9) > 0\)

Шаг 1: Найти нули функции.

• \((x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1\)
• \((x + 9) = 0 \Rightarrow x = -9\)

Шаг 2: Разделить числовую прямую на интервалы, основанные на найденных нулях. Мы имеем три интервала:

• \((-∞, -9)\)
• \((-9, 1)\)
• \((1, +∞)\)

Шаг 3: Проверить знак произведения в каждом интервале.

• Для интервала \((-∞, -9)\) (выберем \(x = -10\)): \(((-10) - 1)((-10) + 9) = (-11)(-1) = 11 > 0\) — положительный.

• Для интервала \((-9, 1)\) (выберем \(x = 0\)): \((0 - 1)(0 + 9) = (-1)(9) = -9 < 0\) — отрицательный.

• Для интервала \((1, +∞)\) (выберем \(x = 2\)): \((2 - 1)(2 + 9) = (1)(11) = 11 > 0\) — положительный.

Шаг 4: Записать решение. Поскольку неравенство строгое (\(>\)), мы не включаем нули:

• Решение: \(x \in (-∞, -9) \cup (1, +∞)\)

---

б) \(-x^2 - 12x < 0\)

Шаг 1: Перепишем неравенство: \(x^2 + 12x > 0\)

Шаг 2: Найдем нули функции: \(x^2 + 12x = 0 \Rightarrow x(x + 12) = 0 \Rightarrow x = 0, -12\)

Шаг 3: Разделим на интервалы:

• \((-∞, -12)\)
• \((-12, 0)\)
• \((0, +∞)\)

Шаг 4: Проверим знак произведения в каждом интервале:

• Для \((-∞, -12)\): \(x = -13\): \((-13)(-1) > 0\) — положительный.
• Для \((-12, 0)\): \(x = -6\): \((-6)(6) < 0\) — отрицательный.
• Для \((0, +∞)\): \(x = 1\): \((1)(13) > 0\) — положительный.

Шаг 5: Записать решение. Неравенство также строгое (\(<\)), нули не включаем:

• Решение: \(x \in (-12, 0)\)

---

в) \(x^2 - 14x + 33 ≤ 0\)

Шаг 1: Найдем дискриминант: \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64\) (дискриминант положительный, два корня).

Шаг 2: Находим корни: \(x = \frac{14 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{14 \pm 8}{2}\)

• Корень 1: \(x_1 = \frac{22}{2} = 11\)
• Корень 2: \(x_2 = \frac{6}{2} = 3\)

Шаг 3: Разделяем на интервалы:

• \((-∞, 3)\)
• \((3, 11)\)
• \((11, +∞)\)

Шаг 4: Проверяем знак:

• Для \((-∞, 3)\): \(x = 0\): \(0^2 - 14(0) + 33 = 33 > 0\) — положительный.
• Для \((3, 11)\): \(x = 5\): \(5^2 - 14(5) + 33 = 25 - 70 + 33 = -12 < 0\) — отрицательный.
• Для \((11, +∞)\): \(x = 12\): \(12^2 - 14(12) + 33 = 144 - 168 + 33 = 9 > 0\) — положительный.

Шаг 5: Записать решение. Так как мы имеем \(≤\), нули включаем:

• Решение: \(x \in [3, 11]\)

---

2. При каких значениях параметра \(m\) уравнение

\(4x^2 - 2mx + 9 = 0\) имеет два различных корня?

Условия для двух различных корней: \(D > 0\).

Шаг 1: Находим дискриминант: \(D = (-2m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 4m^2 - 144\)

Шаг 2: Условия для дискриминанта: \(4m^2 - 144 > 0\)

Шаг 3: Решим неравенство: \(m^2 > 36 \Rightarrow m > 6 \text{ или } m < -6\)

Ответ: \(m > 6\) или \(m < -6\).

---

3. Решите неравенство \(x (x^2 - 9) < 40\)

Шаг 1: Перепишем неравенство: \(x^3 - 9x < 40\)

Шаг 2: Приведём всё к одной стороне: \(x^3 - 9x - 40 < 0\)

Шаг 3: Найти приближенные корни (например, методом подбора). Подберем значения:

• при \(x = 4\): \(4^3 - 9*4 - 40 = 64 - 36 - 40 = -12 < 0\)
• при \(x = 5\): \(5^3 - 9*5 - 40 = 125 - 45 - 40 = 40 > 0\)

Шаг 4: Использовать метод брутфорс (проверяя числа между 4 и 5) или найти корни уравнения: Решим \(x^3 - 9x - 40 = 0\) с помощью численных методов или графически.

Шаг 5: Если необходимые корни найдены, далее используем метод интервалов.

(В данном контексте дальнейшие вычисления зависят от наличия корней, поэтому потребуется уточнять.)

Таким образом, подробно разобрав каждое из неравенств и заданий, мы получили соответствующее пояснение. Если будут дополнительные вопросы по отдельным задачам, обращайтесь!