1. Неравенства и системы неравенств С-2. Рациональные неравенства Вариант 1 1. Решите неравенство методом интервалов: a) (x - 1)(x + 9) > 0; б) -х2 - 12x < 0; B) x2 - 14x + 33 ≤ 0. 02. При каких значениях параметра т уравнение 4x2 - 2mx +9 = 0 имеет два различных корня? 3. x (x2-9) 40

Чтобы понять решение предложенных задач по неравенствам и системам неравенств, разберём каждую из них шаг за шагом. ### 1. Решите неравенство методом интервалов: **a)** \((x - 1)(x + 9) > 0\) Шаг 1: Найти нули функции. - \((x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1\) - \((x + 9) = 0 \Rightarrow x = -9\) Шаг 2: Разделить числовую прямую на интервалы, основанные на найденных нулях. Мы имеем три интервала: - \((-∞, -9)\) - \((-9, 1)\) - \((1, +∞)\) Шаг 3: Проверить знак произведения в каждом интервале. - Для интервала \((-∞, -9)\) (выберем \(x = -10\)): \(((-10) - 1)((-10) + 9) = (-11)(-1) = 11 > 0\) — положительный. - Для интервала \((-9, 1)\) (выберем \(x = 0\)): \((0 - 1)(0 + 9) = (-1)(9) = -9 < 0\) — отрицательный. - Для интервала \((1, +∞)\) (выберем \(x = 2\)): \((2 - 1)(2 + 9) = (1)(11) = 11 > 0\) — положительный. Шаг 4: Записать решение. Поскольку неравенство строгое (\(>\)), мы не включаем нули: - Решение: \(x \in (-∞, -9) \cup (1, +∞)\) --- **б)** \(-x^2 - 12x < 0\) Шаг 1: Перепишем неравенство: \(x^2 + 12x > 0\) Шаг 2: Найдем нули функции: \(x^2 + 12x = 0 \Rightarrow x(x + 12) = 0 \Rightarrow x = 0, -12\) Шаг 3: Разделим на интервалы: - \((-∞, -12)\) - \((-12, 0)\) - \((0, +∞)\) Шаг 4: Проверим знак произведения в каждом интервале: - Для \((-∞, -12)\): \(x = -13\): \((-13)(-1) > 0\) — положительный. - Для \((-12, 0)\): \(x = -6\): \((-6)(6) < 0\) — отрицательный. - Для \((0, +∞)\): \(x = 1\): \((1)(13) > 0\) — положительный. Шаг 5: Записать решение. Неравенство также строгое (\(<\)), нули не включаем: - Решение: \(x \in (-12, 0)\) --- **в)** \(x^2 - 14x + 33 ≤ 0\) Шаг 1: Найдем дискриминант: \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64\) (дискриминант положительный, два корня). Шаг 2: Находим корни: \(x = \frac{14 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{14 \pm 8}{2}\) - Корень 1: \(x_1 = \frac{22}{2} = 11\) - Корень 2: \(x_2 = \frac{6}{2} = 3\) Шаг 3: Разделяем на интервалы: - \((-∞, 3)\) - \((3, 11)\) - \((11, +∞)\) Шаг 4: Проверяем знак: - Для \((-∞, 3)\): \(x = 0\): \(0^2 - 14(0) + 33 = 33 > 0\) — положительный. - Для \((3, 11)\): \(x = 5\): \(5^2 - 14(5) + 33 = 25 - 70 + 33 = -12 < 0\) — отрицательный. - Для \((11, +∞)\): \(x = 12\): \(12^2 - 14(12) + 33 = 144 - 168 + 33 = 9 > 0\) — положительный. Шаг 5: Записать решение. Так как мы имеем \(≤\), нули включаем: - Решение: \(x \in [3, 11]\) --- ### 2. При каких значениях параметра \(m\) уравнение \(4x^2 - 2mx + 9 = 0\) имеет два различных корня? Условия для двух различных корней: \(D > 0\). Шаг 1: Находим дискриминант: \(D = (-2m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 4m^2 - 144\) Шаг 2: Условия для дискриминанта: \(4m^2 - 144 > 0\) Шаг 3: Решим неравенство: \(m^2 > 36 \Rightarrow m > 6 \text{ или } m < -6\) Ответ: \(m > 6\) или \(m < -6\). --- ### 3. Решите неравенство \(x (x^2 - 9) < 40\) Шаг 1: Перепишем неравенство: \(x^3 - 9x < 40\) Шаг 2: Приведём всё к одной стороне: \(x^3 - 9x - 40 < 0\) Шаг 3: Найти приближенные корни (например, методом подбора). Подберем значения: - при \(x = 4\): \(4^3 - 9*4 - 40 = 64 - 36 - 40 = -12 < 0\) - при \(x = 5\): \(5^3 - 9*5 - 40 = 125 - 45 - 40 = 40 > 0\) Шаг 4: Использовать метод брутфорс (проверяя числа между 4 и 5) или найти корни уравнения: Решим \(x^3 - 9x - 40 = 0\) с помощью численных методов или графически. Шаг 5: Если необходимые корни найдены, далее используем метод интервалов. (В данном контексте дальнейшие вычисления зависят от наличия корней, поэтому потребуется уточнять.) Таким образом, подробно разобрав каждое из неравенств и заданий, мы получили соответствующее пояснение. Если будут дополнительные вопросы по отдельным задачам, обращайтесь!