Чтобы решить уравнение (x^2 - 3x + 2 = 0), воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -3) и (c = 2).
Сначала найдем дискриминант ((D)):
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1
]
Так как дискриминант положителен ((D > 0)), у уравнения два различных корня.
Теперь найдем корни:
[
x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
[
x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1
]
Таким образом, корни уравнения: (x_1 = 2) и (x_2 = 1).
Теперь определим знаки этих корней. Квадратное уравнение (x^2 - 3x + 2) можно разложить на множители:
[
(x - 1)(x - 2) = 0
]
Теперь проведем анализ знаков:
- Для (x < 1): оба множителя отрицательны ((x - 1) < 0) и ((x - 2) < 0), поэтому (f(x) > 0).
- Для (1 < x < 2): первый множитель положителен, а второй отрицателен ((x - 1) > 0) и ((x - 2) < 0), поэтому (f(x) < 0).
- Для (x > 2): оба множителя положительны ((x - 1) > 0) и ((x - 2) > 0), поэтому (f(x) > 0).
Таким образом, функция (f(x) = x^2 - 3x + 2) принимает следующие знаки:
- (f(x) > 0) при (x < 1) и (x > 2)
- (f(x) < 0) при (1 < x < 2)
- (f(x) = 0) при (x = 1) и (x = 2)
Подводя итог, корни уравнения: (x_1 = 1), (x_2 = 2), а их знаки:
- Знак функции положителен для (x < 1) и (x > 2)
- Знак функции отрицателен для (1 < x < 2)
