реши уравнение и определи знаки его корней х^2-3х+2
Чтобы решить уравнение \(x^2 - 3x + 2 = 0\), воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = 2\).
Сначала найдем дискриминант (\(D\)):
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения два различных корня.
Теперь найдем корни:
\[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\).
Теперь определим знаки этих корней. Квадратное уравнение \(x^2 - 3x + 2\) можно разложить на множители:
\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]
Теперь проведем анализ знаков:
- Для \(x < 1\): оба множителя отрицательны \((x - 1) < 0\) и \((x - 2) < 0\), поэтому \(f(x) > 0\).
- Для \(1 < x < 2\): первый множитель положителен, а второй отрицателен \((x - 1) > 0\) и \((x - 2) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\).
- Для \(x > 2\): оба множителя положительны \((x - 1) > 0\) и \((x - 2) > 0\), поэтому \(f(x) > 0\).
Таким образом, функция \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) принимает следующие знаки:
- \(f(x) > 0\) при \(x < 1\) и \(x > 2\)
- \(f(x) < 0\) при \(1 < x < 2\)
- \(f(x) = 0\) при \(x = 1\) и \(x = 2\)
Подводя итог, корни уравнения: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), а их знаки:
- Знак функции положителен для \(x < 1\) и \(x > 2\)
- Знак функции отрицателен для \(1 < x < 2\)
