вычислить: sin (2П/3 - x) = ? если cos x = - 24/25 П < x < 3П/2

Чтобы вычислить значение \( \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) \), нам нужно воспользоваться формулами тригонометрии. Но прежде всего, давайте найдем значение угла \( x \), зная, что \( \cos x = -\frac{24}{25} \) и что угол \( x \) находится в диапазоне \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \).

Шаг 1: Найти значение \( \sin x \)

Известно, что для любого угла \( x \):

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Подставляем известное значение \( \cos x \):

\[ \sin^2 x + \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 \]

Вычислим:

\[ \sin^2 x + \frac{576}{625} = 1 \]

Теперь, чтобы найти \( \sin^2 x \), вычтем \( \frac{576}{625} \) из 1:

\[ \sin^2 x = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625}{625} - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \]

Теперь найдем \( \sin x \):

\[ \sin x = \pm \sqrt{\frac{49}{625}} = \pm \frac{7}{25} \]

Шаг 2: Выбор знака для \( \sin x \)

Так как \( x \) находится в третьем квадранте (\( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \)), где синус отрицателен, принимает значение:

\[ \sin x = -\frac{7}{25} \]

Шаг 3: Применение формулы разности синусов

Теперь можем подставить \( \sin x \) и \( \cos x \) в формулу:

\[ \sin\left(a - b\right) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \]

где \( a = \frac{2\pi}{3} \) и \( b = x \).

Сначала найдем \( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \) и \( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \):

\[ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]

Шаг 4: Подставим значения в формулу

Теперь подставляем найденные значения в формулу:

\[ \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \cos x - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \sin x \]

\[ = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(-\frac{24}{25}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{7}{25}\right) \]

\[ = -\frac{24\sqrt{3}}{50} - \frac{7}{50} \]

Шаг 5: Сложение

Сложим два выражения:

\[ -\frac{24\sqrt{3}}{50} - \frac{7}{50} = -\frac{24\sqrt{3} + 7}{50} \]

Ответ

Таким образом, окончательное значение:

\[ \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = -\frac{24\sqrt{3} + 7}{50} \]