В прямоугольном треугольнике АВС (угол С =90°) провели высоту СД. Найдите отрезок ВД, если АВ =8см, ВС=4см.
Чтобы найти отрезок \( ВД \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \) и высотой \( CD \), следуем пошагово:
Найдем длину стороны \( AC \): В прямоугольном треугольнике \( ABC \) мы можем использовать теорему Пифагора. По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] где \( AB = 8 \) см и \( BC = 4 \) см. Подставим известные значения: \[ 8^2 = AC^2 + 4^2 \] \[ 64 = AC^2 + 16 \] Теперь решим это уравнение для \( AC^2 \): \[ AC^2 = 64 - 16 = 48 \] \[ AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} \approx 6.93 \text{ см} \]
Найдем отрезок \( BD \): В прямоугольном треугольнике также выполняется следующее соотношение: \[ CD^2 = AD \cdot BD \] В нашем случае \( CD \) — это высота, проведенная из \( C \) к основанию \( AB \). Чтобы найти \( CD \), используем формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь можно выразить двумя способами: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3} \] Теперь выражаем площадь через \( AB \) и \( CD \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot CD = 4CD \] Уравниваем обе формулы для площади: \[ 8\sqrt{3} = 4CD \] Разделим обе стороны на 4: \[ CD = 2\sqrt{3} \text{ см} \]
Теперь находим \( BD \): Поскольку \( AC \) — это гипотенуза, можно использовать теорему для отрезков высоты: \[ CD^2 = AD \cdot BD \] Из соотношений высоты и отрезков можно выразить длину отрезка \( BD \). Чтобы найти \( AD \) и \( BD \) в треугольниках, воспользуемся аналогичными треугольниками \( ACD \) и \( BCD \). Мы знаем, что: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}, \quad \frac{BD}{BC} = \frac{CD}{AB} \] То есть, используя представленные отрезки: \[ AD = \frac{CD \cdot AC}{BC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{4} = 6 \] Тогда \( AB = AD + BD \), откуда: \[ 8 = 6 + BD \implies BD = 2 \text{ см} \]
Итак, длина отрезка \( ВD \) составляет \( 2 \) см.
