Ваш текст очень хорошо передает эмоции и переживания, связанные с питомцем. Я немного откорректирую его, чтобы улучшить грамматику, стиль и структуру. Вот исправленный и немного дополненный вариант:
Однажды, когда мы с сестрой были маленькими, мы очень хотели питомца, с которым могли бы играть и которого могли бы любить. Наши родители долго не соглашались взять кошечку из приюта, но впоследствии мы их уговорили. Мы долго выбирали, но вскоре к нам подошла маленькая кошечка — белая с черными пятнышками и зелеными глазками, и мы сразу же её взяли. Мы долго не могли придумать, как её назвать, но мама вдруг предложила имя Нюша, и всем это имя очень понравилось. С тех пор мы решили называть её Нюша. Как только мы приехали домой, она сразу же привыкла к нам, и мы каждый день её гладили и играли с ней.
Однажды, когда Нюше исполнилось два года, мы решили вывести её на улицу. Сначала она боялась, но потом начала бегать и играть. После этого случая она очень хотела на улицу, но мы решили, что больше не будем её выпускать. Нюша, однако, была умной кошечкой и придумала, как выбраться: когда мы открывали окно на форточку, она прыгала на сетку, и та падала. Поскольку мы жили на первом этаже, это было не высоко, и Нюша сразу же оказывалась на улице. Нам это не понравилось, и мы стали очень редко открывать окна, но она всё равно выпрыгивала.
В один день, 1 сентября, было очень солнечное утро. Моя старшая сестра шла в первый класс, а я была ещё в садике. Все были рады, но вдруг наша радость исчезла: мы не нашли в доме нашего любимого питомца — кошечку Нюшу. Мы были очень расстроены, но думали, что она скоро вернётся. Как только мы вышли на улицу, чтобы поехать в школу на первую линейку сестры, мы увидели возле нашего дома на дороге кошечку, которая очень напоминала нашу. Сначала мы не поверили и начали спрашивать соседей, видели ли они что-то. Но никто ничего не видел.
Вдруг к нам подошли соседи, которые уезжали в отпуск и только 1 сентября ночью вернулись. Только они, когда ехали домой, заметили, что наша кошечка выпрыгнула из окна, как это обычно происходило, и побежала в сторону дороги. Они рассказали, что как только Нюша начала пробираться через дорогу, неслась какая-то машина и переехала её. С этого момента её не стало.
Мы, конечно, решили взять её и похоронили возле нашего дома. Тогда я была ещё очень маленькой и не совсем понимала, что произошло, но мне всё равно было очень грустно, и я долго плакала. Когда я вспоминаю эту историю, у меня сразу наворачиваются слёзы, ведь это была не просто кошечка — для нас она стала настоящим членом семьи.
Я внес изменения, чтобы улучшить плавность текста и исправить некоторые грамматические ошибки. Если вам нужно добавить больше деталей или конкретных эмоций, дайте знать!