Решите Неполное
Для решения заданий давайте разберем каждое из них по отдельности с подробными объяснениями.
1. Решите уравнение через дискриминант.
а) \(2x^2 - 7x - 9 = 0\)
Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]
Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 2 \), \( b = -7 \), \( c = -9 \):
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Корни: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{4} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{4} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Ответ: \( x_1 = 4.5 \), \( x_2 = -1 \).
б) \(5x^2 - 16x + 3 = 0\)
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 \]
Корни: \[ x_1 = \frac{16 + \sqrt{196}}{10} = \frac{16 + 14}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] \[ x_2 = \frac{16 - \sqrt{196}}{10} = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \]
Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 0.2 \).
2. Решите неполное квадратное уравнение.
\(3x^2 = 18x\)
Для неполного квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx = 0 \) вынесем общий множитель \( x \): \[ x(3x - 18) = 0 \]
Решения:
- \( x = 0 \) (очевидный корень).
- \( 3x - 18 = 0 \rightarrow 3x = 18 \rightarrow x = 6 \)
Ответ: \( x = 0 \) или \( x = 6 \).
3. Найдите сумму и произведение корней уравнения.
\(x^2 + 8x + 12 = 0\)
Сумма корней (по теореме Виета): \[ S = -b/a = -8/1 = -8 \]
Произведение корней: \[ P = c/a = 12/1 = 12 \]
Ответ: Сумма корней \( S = -8 \), произведение корней \( P = 12 \).
4. Решите уравнение через теорему Виета.
\(x^2 - 7x + 12 = 0\)
Сумма корней: \[ S = -b/a = 7 \]
Произведение корней: \[ P = c/a = 12 \]
Корни уравнения с такими суммой и произведением: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \). Проверим: \( 3 + 4 = 7 \) и \( 3 \times 4 = 12 \).
Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \).
5. Один из корней уравнения \( x^2 - 26x + q = 0 \) равен 14. Найдите другой корень.
По теореме Виета, если \( x_1 = 14 \), то второй корень:
\[ S = 26 \]
\[ x_1 + x_2 = 26 \] \[ 14 + x_2 = 26 \] \[ x_2 = 26 - 14 = 12 \]
Ответ: Другой корень \( x_2 = 12 \).
Таким образом, задачи решены с подробными объяснениями.
