Решим систему уравнений, используя метод подстановки. Данная система состоит из следующих уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - y^2 = 7 \quad (1) \
x - y = 1 \quad (2)
\end{cases}
]
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из второго уравнения (2) выразим (x) через (y):
[
x = y + 1
]
Шаг 2: Подставим значение (x) в первое уравнение
Теперь подставим выражение для (x) из (2) в (1):
[
(y + 1)^2 - y^2 = 7
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
(y^2 + 2y + 1) - y^2 = 7
]
Упростим:
[
2y + 1 = 7
]
Шаг 4: Найдем значение (y)
Теперь решим это уравнение относительно (y):
[
2y = 7 - 1
]
[
2y = 6
]
[
y = 3
]
Шаг 5: Найдем значение (x)
Теперь, когда мы знаем (y), подставим его значение обратно в уравнение (2), чтобы найти (x):
[
x = y + 1 = 3 + 1 = 4
]
Шаг 6: Запишем ответ
Таким образом, мы нашли значения (x) и (y):
[
\begin{cases}
x = 4 \
y = 3
\end{cases}
]
Проверка решения
Для проверки подставим найденные значения (x) и (y) в оба уравнения:
- (x^2 - y^2 = 7)
[
4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7 \quad \text{(верно)}
]
- (x - y = 1)
[
4 - 3 = 1 \quad \text{(верно)}
]
Оба уравнения выполнены, значит, наше решение верное.
Ответ: (x = 4), (y = 3).
