Решите

Для решения неравенства \( x(x + 2) < 35 \) методом интервалов, следуйте этим шагам:

1. Приведение к стандартной форме:

   Перепишите неравенство: \[ x^2 + 2x < 35 \]

   Приведите к стандартной форме: \[ x^2 + 2x - 35 < 0 \]

2. Нахождение корней квадратного уравнения:

   Решите уравнение \( x^2 + 2x - 35 = 0 \) с помощью дискриминанта.

   \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \]

   Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 12}{2} \]

   \[ x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = 5 \]

   \[ x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = -7 \]

3. Метод интервалов:

   Разбейте числовую ось на интервалы, используя найденные корни \( x = -7 \) и \( x = 5 \):

   • \( (-\infty, -7) \)
   • \( (-7, 5) \)
   • \( (5, \infty) \)

4. Определение знака в каждом интервале:

   Выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте в выражение \( x^2 + 2x - 35 \):

   • Для интервала \( (-\infty, -7) \), возьмите \( x = -8 \): \[ (-8)^2 + 2(-8) - 35 = 64 - 16 - 35 = 13 > 0 \]

   • Для интервала \( (-7, 5) \), возьмите \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2(0) - 35 = -35 < 0 \]

   • Для интервала \( (5, \infty) \), возьмите \( x = 6 \): \[ 6^2 + 2(6) - 35 = 36 + 12 - 35 = 13 > 0 \]

5. Записываем решение:

   Неравенство выполняется в интервале, где выражение отрицательное: \[ x \in (-7, 5) \]

Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-7, 5) \).