Решите

Для решения неравенства \( x(x + 2) < 35 \) методом интервалов, следуйте этим шагам: 1. **Приведение к стандартной форме:** Перепишите неравенство: \[ x^2 + 2x < 35 \] Приведите к стандартной форме: \[ x^2 + 2x - 35 < 0 \] 2. **Нахождение корней квадратного уравнения:** Решите уравнение \( x^2 + 2x - 35 = 0 \) с помощью дискриминанта. \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 12}{2} \] \[ x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = -7 \] 3. **Метод интервалов:** Разбейте числовую ось на интервалы, используя найденные корни \( x = -7 \) и \( x = 5 \): - \( (-\infty, -7) \) - \( (-7, 5) \) - \( (5, \infty) \) 4. **Определение знака в каждом интервале:** Выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте в выражение \( x^2 + 2x - 35 \): - Для интервала \( (-\infty, -7) \), возьмите \( x = -8 \): \[ (-8)^2 + 2(-8) - 35 = 64 - 16 - 35 = 13 > 0 \] - Для интервала \( (-7, 5) \), возьмите \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2(0) - 35 = -35 < 0 \] - Для интервала \( (5, \infty) \), возьмите \( x = 6 \): \[ 6^2 + 2(6) - 35 = 36 + 12 - 35 = 13 > 0 \] 5. **Записываем решение:** Неравенство выполняется в интервале, где выражение отрицательное: \[ x \in (-7, 5) \] Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-7, 5) \).