Первый велосипедист преодолевает расстояние 60 км на 1 час быстрее, чем второй. Если бы первый велосипедист уменьшил скорость на 2 км/ч, а второй увеличил свою скорость на 20%, то они затратили бы на тот же путь одинаковое время. Найдите скорости велосипедистов.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Определим переменные Обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \) (в км/ч) и скорость второго велосипедиста как \( v_2 \) (в км/ч). ### Шаг 2: Запишем время в зависимости от скорости Первый велосипедист проезжает 60 км на 1 час быстрее, чем второй. Время, которое тратит каждый из велосипедистов на преодоление 60 км, можно выразить следующим образом: - Время первого велосипедиста: \( t_1 = \frac{60}{v_1} \) - Время второго велосипедиста: \( t_2 = \frac{60}{v_2} \) Согласно условию, первый велосипедист тратит на 1 час меньше, чем второй, что можно записать как уравнение: \[ t_2 = t_1 + 1 \] Подставим выражения для времени в это уравнение: \[ \frac{60}{v_2} = \frac{60}{v_1} + 1 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Умножим всё уравнение на \( v_1 v_2 \) (для исключения дробей): \[ 60 v_1 = 60 v_2 + v_1 v_2 \] Перепишем уравнение: \[ 60 v_1 - 60 v_2 = v_1 v_2 \] ### Шаг 4: Подготовим вторую часть условия Условие говорит, что если первый велосипедист уменьшит скорость на 2 км/ч, а второй увеличит свою скорость на 20%, то они затратят одинаковое время. Скорость первого теперь будет \( v_1 - 2 \), а скорость второго: \( v_2 + 0.2v_2 = 1.2v_2 \). Запишем уравнение для времени: \[ \frac{60}{v_1 - 2} = \frac{60}{1.2 v_2} \] ### Шаг 5: Упростим и решим второе уравнение Перемножим: \[ 60 \cdot 1.2 v_2 = 60(v_1 - 2) \] Упрощая, получаем: \[ 1.2 v_2 = v_1 - 2 \] Теперь у нас есть 2 уравнения: 1. \( 60 v_1 - 60 v_2 = v_1 v_2 \) (уравнение 1) 2. \( v_1 - 1.2 v_2 = 2 \) (уравнение 2) ### Шаг 6: Выразим \( v_1 \) через \( v_2 \) и подставим Из уравнения 2 выразим \( v_1 \): \[ v_1 = 1.2 v_2 + 2 \] Теперь подставим это выражение в уравнение 1: \[ 60(1.2 v_2 + 2) - 60 v_2 = (1.2 v_2 + 2)v_2 \] ### Шаг 7: Упростим уравнение Сначала раскроем скобки: \[ 72 v_2 + 120 - 60 v_2 = 1.2 v_2^2 + 2 v_2 \] Соберём все члены в одну сторону: \[ 12 v_2 + 120 = 1.2 v_2^2 + 2 v_2 \] Упрощаем уравнение: \[ 0 = 1.2 v_2^2 - 10 v_2 - 120 \] ### Шаг 8: Решим квадратное уравнение Коэффициенты: \( a = 1.2 \), \( b = -10 \), \( c = -120 \). Запишем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1.2 \cdot (-120) \] \[ D = 100 + 576 = 676 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 26}{2.4} \] Таким образом, найдем два значения: 1. \( v_2 = \frac{36}{2.4} = 15 \) 2. \( v_2 = \frac{-16}{2.4} \) (отрицательное значение отвергаем) Теперь найдем \( v_1 \): \[ v_1 = 1.2v_2 + 2 = 1.2 \times 15 + 2 = 18 + 2 = 20 \] ### Ответ Скорость первого велосипедиста \( v_1 = 20 \) км/ч, скорость второго велосипедиста \( v_2 = 15 \) км/ч. ### Проверка 1. Проверяем время: \( t_1 = \frac{60}{20} = 3 \) часа, \( t_2 = \frac{60}{15} = 4 \) часа. \( 4 - 3 = 1 \) час (согласуется). 2. Проверяем второе условие: - \( v_1 - 2 = 18 \) км/ч, \( v_2 + 0.2v_2 = 15 + 3 = 18 \) км/ч. Время будет одинаковым для обеих скоростей. Все условия задачи выполнены, что подтверждает правильность решения!