Первый велосипедист преодолевает расстояние 60 км на 1 час быстрее, чем второй. Если бы первый велосипедист уменьшил скорость на 2 км/ч, а второй увеличил свою скорость на 20%, то…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим переменные

Обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \) (в км/ч) и скорость второго велосипедиста как \( v_2 \) (в км/ч).

Шаг 2: Запишем время в зависимости от скорости

Первый велосипедист проезжает 60 км на 1 час быстрее, чем второй. Время, которое тратит каждый из велосипедистов на преодоление 60 км, можно выразить следующим образом:

• Время первого велосипедиста: \( t_1 = \frac{60}{v_1} \)
• Время второго велосипедиста: \( t_2 = \frac{60}{v_2} \)

Согласно условию, первый велосипедист тратит на 1 час меньше, чем второй, что можно записать как уравнение:

\[ t_2 = t_1 + 1 \]

Подставим выражения для времени в это уравнение:

\[ \frac{60}{v_2} = \frac{60}{v_1} + 1 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Умножим всё уравнение на \( v_1 v_2 \) (для исключения дробей):

\[ 60 v_1 = 60 v_2 + v_1 v_2 \]

Перепишем уравнение:

\[ 60 v_1 - 60 v_2 = v_1 v_2 \]

Шаг 4: Подготовим вторую часть условия

Условие говорит, что если первый велосипедист уменьшит скорость на 2 км/ч, а второй увеличит свою скорость на 20%, то они затратят одинаковое время.

Скорость первого теперь будет \( v_1 - 2 \), а скорость второго: \( v_2 + 0.2v_2 = 1.2v_2 \).

Запишем уравнение для времени:

\[ \frac{60}{v_1 - 2} = \frac{60}{1.2 v_2} \]

Шаг 5: Упростим и решим второе уравнение

Перемножим:

\[ 60 \cdot 1.2 v_2 = 60(v_1 - 2) \]

Упрощая, получаем:

\[ 1.2 v_2 = v_1 - 2 \]

Теперь у нас есть 2 уравнения:

1. \( 60 v_1 - 60 v_2 = v_1 v_2 \) (уравнение 1)
2. \( v_1 - 1.2 v_2 = 2 \) (уравнение 2)

Шаг 6: Выразим \( v_1 \) через \( v_2 \) и подставим

Из уравнения 2 выразим \( v_1 \):

\[ v_1 = 1.2 v_2 + 2 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение 1:

\[ 60(1.2 v_2 + 2) - 60 v_2 = (1.2 v_2 + 2)v_2 \]

Шаг 7: Упростим уравнение

Сначала раскроем скобки:

\[ 72 v_2 + 120 - 60 v_2 = 1.2 v_2^2 + 2 v_2 \]

Соберём все члены в одну сторону:

\[ 12 v_2 + 120 = 1.2 v_2^2 + 2 v_2 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 0 = 1.2 v_2^2 - 10 v_2 - 120 \]

Шаг 8: Решим квадратное уравнение

Коэффициенты: \( a = 1.2 \), \( b = -10 \), \( c = -120 \).

Запишем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1.2 \cdot (-120) \] \[ D = 100 + 576 = 676 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 26}{2.4} \]

Таким образом, найдем два значения:

1. \( v_2 = \frac{36}{2.4} = 15 \)
2. \( v_2 = \frac{-16}{2.4} \) (отрицательное значение отвергаем)

Теперь найдем \( v_1 \):

\[ v_1 = 1.2v_2 + 2 = 1.2 \times 15 + 2 = 18 + 2 = 20 \]

Ответ

Скорость первого велосипедиста \( v_1 = 20 \) км/ч, скорость второго велосипедиста \( v_2 = 15 \) км/ч.

Проверка

1. Проверяем время: \( t_1 = \frac{60}{20} = 3 \) часа, \( t_2 = \frac{60}{15} = 4 \) часа. \( 4 - 3 = 1 \) час (согласуется).
2. Проверяем второе условие:
   • \( v_1 - 2 = 18 \) км/ч, \( v_2 + 0.2v_2 = 15 + 3 = 18 \) км/ч. Время будет одинаковым для обеих скоростей.

Все условия задачи выполнены, что подтверждает правильность решения!