Найдите tg(a+B) ,если известно ,что cosa =⅗ cosB=7/25,где aи B-углы 1 четверти

Чтобы найти \( \tan(a + B) \), мы воспользуемся формулой для тангенса суммы углов: \[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \cdot \tan B} \] Для начала, нам нужно найти \( \tan a \) и \( \tan B \) на основе данных \( \cos a \) и \( \cos B \). 1. **Найдём \( \sin a \)**. Мы знаем, что: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим \( \cos a = \frac{3}{5} \): \[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Следовательно, \[ \sin a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Поскольку углы \( a \) и \( B \) находятся в первой четверти, мы берём положительное значение. Теперь найдём \( \tan a \): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] 2. **Теперь найдём \( \sin B \)**, используя \( \cos B = \frac{7}{25} \): \[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \] Подставим \( \cos B = \frac{7}{25} \): \[ \sin^2 B + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 B + \frac{49}{625} = 1 \] \[ \sin^2 B = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \] Таким образом, \[ \sin B = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \] Опять же, берём положительное значение, так как угол \( B \) находится в первой четверти. Теперь найдём \( \tan B \): \[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \] 3. **Теперь мы можем подставить значения \( \tan a \) и \( \tan B \) в формулу для \( \tan(a + B) \)**: \[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \cdot \tan B} \] Подставляем значения: \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{24}{7}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{24}{7}} \] 4. **Объединим дроби в числителе**: Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{4}{3} = \frac{28}{21}, \quad \frac{24}{7} = \frac{72}{21} \] Тогда: \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{28}{21} + \frac{72}{21}}{1 - \frac{96}{21}} \] Сложим: \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{100}{21}}{1 - \frac{96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{-75}{21}} = \frac{100}{-75} = -\frac{4}{3} \] Таким образом: \[ \tan(a + B) = -\frac{4}{3} \] Это и есть искомое значение.