Чтобы сократить дробь (\frac{2x^2 + 7x - 4}{2x - 1}), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Разложение числителя
Первым шагом является разложение числителя (2x^2 + 7x - 4) на множители. Мы ищем такие два числа (a) и (b), что:
- (a \cdot b = 2 \cdot (-4) = -8)
- (a + b = 7)
Подходящими числами являются (8) и (-1) (так как (8 \cdot -1 = -8) и (8 + (-1) = 7)).
Теперь перепишем (7x) как (8x - x):
[
2x^2 + 8x - x - 4
]
Теперь сгруппируем:
[
(2x^2 + 8x) + (-x - 4)
]
Выносим общий множитель из каждой группы:
[
2x(x + 4) - 1(x + 4)
]
Теперь видим, что (x + 4) является общим множителем:
[
(2x - 1)(x + 4)
]
Таким образом, числитель (2x^2 + 7x - 4) разлагается на множители:
[
2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4)
]
Шаг 2: Подстановка в дробь
Теперь подставим разложенный числитель в дробь:
[
\frac{(2x - 1)(x + 4)}{2x - 1}
]
Шаг 3: Сокращение дроби
Теперь мы можем сократить (2x - 1) в числителе и знаменателе:
[
= x + 4 \quad \text{(при условии, что } 2x - 1 \neq 0\text{)}
]
Ответ
В конечном итоге, сокращенная дробь:
[
\frac{2x^2 + 7x - 4}{2x - 1} = x + 4 \text{ при } 2x - 1 \neq 0.
]
Таким образом, чтобы сокращение было допустимым, необходимо, чтобы (2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}).
