Построй график функции y = ∣ x 2 − 3 x + 2 ∣ y= ∣ ∣ ∣ ​ x 2 −3x+2 ∣ ∣ ∣ ​ . Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Чтобы построить график функции \( y = |x^2 - 3x + 2| \) и понять, сколько наибольшее число общих точек может иметь этот график с прямой, параллельной оси абсцисс (то есть с прямой \( y = k \)), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Исследуем функцию \( y = x^2 - 3x + 2 \)

1. Определим корни квадратного уравнения: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различимых корня: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = 1 \]

2. Обозначим точки пересечения: Функция \( x^2 - 3x + 2 \) пересекает ось абсцисс в точках \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Шаг 2: Строим график функции

1. Выразим \( y \) в промежутках:

   • На промежутке \( (-\infty, 1) \) функция \( x^2 - 3x + 2 \) положительна.
   • На промежутке \( (1, 2) \) функция отрицательна.
   • На промежутке \( (2, +\infty) \) функция снова положительна.

2. С учетом модуля:

   • На промежутке \( (-\infty, 1) \): \( y = x^2 - 3x + 2 \)
   • На промежутке \( (1, 2) \): \( y = -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 3x - 2 \)
   • На промежутке \( (2, +\infty) \): \( y = x^2 - 3x + 2 \)

Шаг 3: Наибольшее число общих точек

Теперь нам нужно определить, сколько общих точек может иметь график функции с прямой \( y = k \).

1. Общение с прямой:
   • Если прямая \( y = k \) проходит выше всех точек минимума, то она будет пересекаться с графиком дважды.
   • Если \( k \) равен значению в точке минимума, прямая будет касаться графика и пересекаться в одной точке.
   • Если прямая проходит ниже значения минимума, она не будет пересекаться с графиком.

Шаг 4: Находим значение минимума функции

Функция \( y = x^2 - 3x + 2 \) - это парабола, и ее минимальное значение на промежутке \( (1, 2) \) можно найти, подставив \( x \) из этого интервала (например, в вершине параболы или в конце интервала).

1. Находим координаты вершины параболы: \[ x_{min} = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
2. Находим минимум: \[ y_{min} = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 \]

Заключение

1. Если прямая \( y = k \) выше \( -0.25 \), она может иметь две точки пересечения.
2. Если \( k = -0.25 \), прямая касается графика в одной точке.
3. Если \( k < -0.25 \), прямая не пересекает график.

Ответ

Наибольшее число общих точек, которое может иметь график функции \( y = |x^2 - 3x + 2| \) с прямой, параллельной оси абсцессов — 2 точки.