9x²+10x+25>0

Для решения неравенства \( 9x^2 + 10x + 25 > 0 \) начнём с анализа самого выражения.

Шаг 1: Определение основного уравнения

Сначала можно рассмотреть соответствующее квадратное уравнение:

\[ 9x^2 + 10x + 25 = 0 \]

Шаг 2: Использование дискриминанта

Квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:

• \( a = 9 \)
• \( b = 10 \)
• \( c = 25 \)

Теперь найдём дискриминант по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим значения:

\[ D = (10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 100 - 900 = -800 \]

Шаг 3: Анализ дискриминанта

Дискриминант \( D \) равен \(-800\), что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Это говорит о том, что график параболы \( 9x^2 + 10x + 25 \) не пересекает ось \( x \).

Шаг 4: Определение знака параболы

Мы знаем, что коэффициент \( a = 9 \) положителен, поэтому парабола открывается вверх. Таким образом, если у неё нет действительных корней, она всегда находится выше оси \( x \).

Шаг 5: Вывод

Так как значение квадратного трёхчлена \( 9x^2 + 10x + 25 \) всегда положительно (выше нуля для всех \( x \)), неравенство

\[ 9x^2 + 10x + 25 > 0 \]

выполняется для всех значений \( x \).

Итог

Ответ: неравенство \( 9x^2 + 10x + 25 > 0 \) выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \) (все действительные числа).