решите уравнения: а) 3x²+13x-10=0 б) 2x²-3x=0 в) 16x²=49 г) x²-2x-35=o
Давайте решим каждое из заданных уравнений по порядку, предоставляя детальные объяснения для каждого случая.
а) \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \)
Для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) мы используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( a = 3 \)
- \( b = 13 \)
- \( c = -10 \)
Теперь подставим значения в формулу для \( D \):
\[ D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \]
Так как дискриминант положительный (\( D > 0 \)), у нас есть два различных вещественных корня. Теперь находим корни по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]
Подставляем значения:
\[ x_1 = \frac{{-13 + \sqrt{289}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-13 + 17}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
\[ x_2 = \frac{{-13 - \sqrt{289}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-13 - 17}}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \]
Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{2}{3}, \quad x_2 = -5 \]
б) \( 2x^2 - 3x = 0 \)
В данном уравнении мы можем вынести общий фактор \( x \):
\[ x(2x - 3) = 0 \]
Теперь у нас есть два множителя, каждый из которых мы можем приравнять к нулю:
- \( x = 0 \)
- \( 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2x = 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{3}{2} \)
Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]
в) \( 16x^2 = 49 \)
Сначала преобразуем уравнение:
\[ 16x^2 - 49 = 0 \]
Это также квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 16, b = 0, c = -49 \):
\[ D = 0^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-49) = 0 + 3136 = 3136 \]
Корни находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{0 \pm 56}}{{32}} \]
Таким образом:
\[ x_1 = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}, \quad x_2 = \frac{-56}{32} = -\frac{7}{4} \]
Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{7}{4}, \quad x_2 = -\frac{7}{4} \]
г) \( x^2 - 2x - 35 = 0 \)
Используем формулу дискриминанта, где:
- \( a = 1, b = -2, c = -35 \):
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{{-(-2) \pm \sqrt{144}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{2 \pm 12}{2} \]
Таким образом,
\[ x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Корни уравнения: \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -5 \]
Ответы к уравнениям:
а) \( x_1 = \frac{2}{3}, \, x_2 = -5 \)
б) \( x_1 = 0, \, x_2 = \frac{3}{2} \)
в) \( x_1 = \frac{7}{4}, \, x_2 = -\frac{7}{4} \)
г) \( x_1 = 7, \, x_2 = -5 \)
Если у вас есть вопросы по каждому шагу или другим уравнениям, дайте знать!
