Давайте разберём каждый из предложенных вами примеров и вставим запятую, а также объясним, почему мы это делаем.
"К беседке вела расчищенная от снега дорожка."
Запятая не требуется. Это простое предложение, в котором нет обособленных членов предложения. Предложение состоит из подлежащего "дорожка" и сказуемого "вела", а также обстоятельства "к беседке" и обстоятельственного оборота "расчищенная от снега". Они не требуют постановки запятой."Бывшая ранним утром была обильной."
Запятая не нужна. Это предложение тоже простое. Здесь "бывшая" — это причастие, которое выполняет роль определения к слову "утром". У нас нет обособленных оборотов или вводных слов, требующих запятой."Пароход уходил вверх по реке, догоняя дождевую тучу."
Запятая необходима после "реки". Это сложносочинённое предложение, состоящее из двух частей: первая часть ("пароход уходил вверх по реке") и вторая часть ("догоняя дождевую тучу"). Здесь мы имеем дело с деепричастным оборотом "догоняя дождевую тучу", который отделяется запятой."Рядом, прижимаясь к самой дороге, зеленел лес."
Запятые нужны перед "прижимаясь" и после "дороге". Это предложение содержит обособленный деепричастный оборот "прижимаясь к самой дороге". Деепричастный оборот, как правило, выделяется запятыми, так как он указывает на дополнительное действие.
Теперь, когда мы рассмотрели все предложения и расставили запятые с объяснением, вы можете увидеть, как работает правила пунктуации в зависимости от структуры предложения.