Контрольная работа №1. «Решение треугольников». 1 варнант. №1.Диагонали параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между ними 60°. Найти стороны параллелограмма. №2.Дан…

Давайте по порядку разберём задачи из контрольной работы.

Задача 1

Условия: Диагонали параллелограмма равны 12 см и 20 см, угол между ними 60°. Найти стороны параллелограмма.

Решение:

1. Обозначим диагонали \(d_1 = 12 \, \text{см}\) и \(d_2 = 20 \, \text{см}\).
2. Так как угол между ними равен 60°, то мы можем использовать формулу для нахождения сторон параллелограмма, в котором заданы диагонали и угол между ними:

\[ AB = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2}{2} + \frac{d_1 d_2 \cos(\theta)}{2}} \]

где \(\theta = 60^\circ\).

3. Сначала найдём \(\cos(60^\circ) = 0.5\).
4. Подставим данные в формулу:

\[ AB = \sqrt{\frac{12^2 + 20^2}{2} + \frac{12 \cdot 20 \cdot 0.5}{2}} \]

5. Вычислим:

\[ AB = \sqrt{\frac{144 + 400}{2} + \frac{120}{2}} = \sqrt{\frac{544 + 120}{2}} = \sqrt{\frac{664}{2}} = \sqrt{332} \approx 18.2 \, \text{см} \]

6. Поскольку в параллелограмме стороны равны, и \(CD\) — это та же сторона, то: \[ CD = AB = \sqrt{332} \approx 18.2 \, \text{см} \]

Суммируем другие две стороны по аналогичному принципу: \[ AD = BC = \sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \cos(\theta)} \] Таким образом, находите вторую сторону.

Задача 2

Условия: Дан треугольник ABC, угол A = 45°, угол B = 75°, AB = \(2\sqrt{3}\) см. Найти угол C и сторону AC.

Решение:

1. Чтобы найти угол C, применим правило, что сумма углов треугольника равна 180°: \[ C = 180° - A - B = 180° - 45° - 75° = 60° \]

2. Теперь найдём сторону AC с использованием теоремы синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

3. Подставим известные данные: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\sin(60°)} = \frac{AC}{\sin(75°)} \]

4. Зная, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(75°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\): \[ \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Упрощаем: \[ \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{AC \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ 4 = \frac{AC \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Отсюда, \[ AC = \sqrt{6} + \sqrt{2} \]

Задача 3

Условия: В треугольнике ABC, BA = 6 см, AC = 8 см, площадь = \(12/2\) см². Найти синус угла A и его градусную меру, если он тупой.

Решение:

1. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin A \]

2. У нас \(S = 6\), следовательно, \[ 6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin A \implies 6 = 24 \cdot \sin A \implies \sin A = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \]

3. Для нахождения угла A используем арксинус: \[ A = \arcsin(\frac{1}{4}) \approx 15° \] Но так как угол A тупой, мы рассматриваем: \[ A = 180° - 15° = 165° \]

Задача 4

Условия: Стороны треугольника 3 см, 5 см и 7 см. Найти угол противолежащий стороне 7 см.

Решение:

1. Для нахождения угла используем закон косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] где \(c = 7\), \(a = 3\), \(b = 5\).

2. Подставляем данные: \[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C \] \[ 49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos C \] \[ 49 = 34 - 30 \cdot \cos C \] \[ 15 = -30 \cdot \cos C \implies \cos C = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2} \]

3. Находим угол: \[ C = 120° \]

Таким образом, решения всех задач предоставлены. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!