2х²+9х+7 —————— X²-1 Сократить дробь

Чтобы сократить дробь \(\frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1}\), сначала нужно упростить числитель и знаменатель.

Шаг 1: Факторизация числителя

Посмотрим на числитель \(2x^2 + 9x + 7\). Мы должны найти такие два числа, которые при умножении дают \(2 \cdot 7 = 14\) (коэффициент перед \(x^2\) умноженный на свободный член) и при сложении дают \(9\) (коэффициент перед \(x\)).

Эти числа — \(7\) и \(2\):

\[ 2x^2 + 7x + 2x + 7 \]

Теперь сгруппируем:

\[ = (2x^2 + 7x) + (2x + 7) \]

Можно вынести общий множитель из каждой группы:

\[ = x(2x + 7) + 1(2x + 7) \]

Теперь можем вынести \(2x + 7\):

\[ = (2x + 7)(x + 1) \]

Таким образом, числитель \(2x^2 + 9x + 7\) можно записать как \((2x + 7)(x + 1)\).

Шаг 2: Факторизация знаменателя

Теперь займемся знаменателем \(x^2 - 1\).

Это разность квадратов, которую можно факторизовать следующим образом:

\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

Шаг 3: Запись дроби в факторизованном виде

Теперь подставим факторы в дробь:

\[ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} = \frac{(2x + 7)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \]

Шаг 4: Сокращение дроби

Мы видим, что \(x + 1\) присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем сократить:

\[ = \frac{2x + 7}{x - 1} \quad (\text{при условии, что } x \neq -1) \]

Итог

Сокращенная дробь: \[ \frac{2x + 7}{x - 1} \]

Эта дробь была сокращена, и важно помнить, что \(x\) не должно принимать значение \(-1\) для того, чтобы дробь была определена.