Чтобы сократить дробь (\frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1}), сначала нужно упростить числитель и знаменатель.
Шаг 1: Факторизация числителя
Посмотрим на числитель (2x^2 + 9x + 7). Мы должны найти такие два числа, которые при умножении дают (2 \cdot 7 = 14) (коэффициент перед (x^2) умноженный на свободный член) и при сложении дают (9) (коэффициент перед (x)).
Эти числа — (7) и (2):
[
2x^2 + 7x + 2x + 7
]
Теперь сгруппируем:
[
= (2x^2 + 7x) + (2x + 7)
]
Можно вынести общий множитель из каждой группы:
[
= x(2x + 7) + 1(2x + 7)
]
Теперь можем вынести (2x + 7):
[
= (2x + 7)(x + 1)
]
Таким образом, числитель (2x^2 + 9x + 7) можно записать как ((2x + 7)(x + 1)).
Шаг 2: Факторизация знаменателя
Теперь займемся знаменателем (x^2 - 1).
Это разность квадратов, которую можно факторизовать следующим образом:
[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
]
Шаг 3: Запись дроби в факторизованном виде
Теперь подставим факторы в дробь:
[
\frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} = \frac{(2x + 7)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}
]
Шаг 4: Сокращение дроби
Мы видим, что (x + 1) присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем сократить:
[
= \frac{2x + 7}{x - 1} \quad (\text{при условии, что } x \neq -1)
]
Итог
Сокращенная дробь:
[
\frac{2x + 7}{x - 1}
]
Эта дробь была сокращена, и важно помнить, что (x) не должно принимать значение (-1) для того, чтобы дробь была определена.
