Реши без формулы

Чтобы найти сторону равностороннего треугольника, если известен радиус описанной окружности, можно использовать свойства равностороннего треугольника.

Шаги решения:

1. Понимание геометрии равностороннего треугольника:

   • У равностороннего треугольника все стороны равны, и все углы равны 60 градусам.
   • Центр окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, совпадает с его центроидом, ортроцентром и инцентром.

2. Отношение радиуса описанной окружности к стороне треугольника:

   • Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной треугольника \( a \) через формулу: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Но в задаче нам сказано не использовать формулу. Поэтому логически обоснуем.

3. Обоснование отношения:

   • Если провести высоты в равностороннем треугольнике, то они делят его на два равных прямоугольных треугольника.
   • Сторона треугольника \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота является его медиа́ной и частью стороны, перпендикулярной к основанию.
   • Из свойств прямоугольного треугольника и особенностей пропорций для 30-60-90 градусов можно получить, что сторона равностороннего треугольника противоположна углу 60 градусов и больше гипотенузы, которая в два раза больше короткой ноги.

4. Нахождение стороны \( a \):

   • Подставляя радиус \( R = 10 \) в отношение получаем: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = R \cdot \sqrt{3} \]
   • \[ a = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 10 \cdot 1.732 = 17.32 \]

Таким образом, сторона равностороннего треугольника приблизительно равна 17.32 см.