найдите диагонали параллелограмма , построенного на векторах a=5p+2q и b=p-3q, если |p|= 2✓2 , |q|=3 и угол лежащий между p и q равен 45°. РЕШИТЕ БЕЗ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ

Чтобы найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} = 5\mathbf{p} + 2\mathbf{q} \) и \( \mathbf{b} = \mathbf{p} - 3\mathbf{q} \), начинаем с определения этих векторов.

1. Определим длины векторов \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \):

   • \( |\mathbf{p}| = 2\sqrt{2} \)
   • \( |\mathbf{q}| = 3 \)

2. Находим координаты векторов \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \): Предположим, что: \[ \mathbf{p} = (2\sqrt{2}, 0) \quad \text{и} \quad \mathbf{q} = (3\cos(45°), 3\sin(45°)) \] Поскольку \( \cos(45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), можем выразить координаты: \[ \mathbf{q} = \left( 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \]

3. Теперь находим векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} = 5\mathbf{p} + 2\mathbf{q} = 5(2\sqrt{2}, 0) + 2\left( \frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ = (10\sqrt{2}, 0) + (3\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) = (10\sqrt{2} + 3\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) = (13\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) \] \[ \mathbf{b} = \mathbf{p} - 3\mathbf{q} = (2\sqrt{2}, 0) - 3\left( \frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ = (2\sqrt{2}, 0) - \left( \frac{9\sqrt{2}}{2}, \frac{9\sqrt{2}}{2} \right) = \left( 2\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2}, -\frac{9\sqrt{2}}{2} \right) \] Приведем \( 2\sqrt{2} \) к общему знаменателю: \[ 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{b} = \left( \frac{4\sqrt{2}}{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2}, -\frac{9\sqrt{2}}{2} \right) = \left( -\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{9\sqrt{2}}{2} \right) \]

4. Теперь найдём диагонали параллелограмма. Диагонали параллелограмма можно найти по формулам: \[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \quad \text{и} \quad \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} \]

   Для первой диагонали: \[ \mathbf{d_1} = (13\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) + \left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{9\sqrt{2}}{2}\right) \] Объединим: \[ = \left( 13\sqrt{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2}, 3\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} \right) \] Приведём к общему знаменателю: \[ = \left( \frac{26\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{6\sqrt{2}}{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{21\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \]

   Для второй диагонали: \[ \mathbf{d_2} = (13\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) - \left( -\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{9\sqrt{2}}{2}\right) \] Объединим: \[ = \left( 13\sqrt{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}, 3\sqrt{2} + \frac{9\sqrt{2}}{2} \right) \] Приведём к общему знаменателю: \[ = \left( \frac{26\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{6\sqrt{2}}{2} + \frac{9\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{31\sqrt{2}}{2}, \frac{15\sqrt{2}}{2} \right) \]

5. Ответ: Диагонали параллелограмма:

   • Первая диагональ \( \mathbf{d_1} = \left( \frac{21\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \)
   • Вторая диагональ \( \mathbf{d_2} = \left( \frac{31\sqrt{2}}{2}, \frac{15\sqrt{2}}{2} \right) \)

Эти векторы представляют собой диагонали параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).