В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, АВ = 58, АС = 84. Найдите длину диагонали ВD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и диагоналей. 1. **Свойства параллелограмма:** В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Кроме того, в данном случае сказано, что диагонали являются биссектрисами углов. Это означает, что углы на месте их пересечения равны, и каждая из диагоналей делит углы параллелограмма пополам. 2. **Обозначим данные:** - Длина стороны \( AB = 58 \) - Длина диагонали \( AC = 84 \) 3. **Свойства биссектрисы:** Важно, что также известно, что если в треугольнике одна из сторон является биссектрисой одного из углов, то отношение длин двух отрезков, на которые делится биссектрисой противоположная сторона, равно отношению длин прилежащих сторон этого угла. 4. **Обозначим следующими переменными:** - \( BD = x \) (это искомая длина диагонали, которую мы должны найти) 5. **Определение отношения по теореме о биссектрисе:** По свойству биссектрисы, можно записать отношения между сторонами и диагоналями. В нашем случае: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{BD} \] Известно, что в параллелограмма \( AB = AD \), поэтому: \[ \frac{58}{58} = \frac{84}{x} \] Таким образом, либо \( \frac{84}{x} = 1 \), и \( x = 84 \). 6. **Сравнение длин:** В результате мы можем определить, что диагональ \( BD \) будет равна диагонали \( AC \) в этом уникальном случае, так как параллелограмм в данной конфигурации равен по диагоналям. То есть, поскольку площади и углы идентичны, даруя нам: \[ BD = AC = 84 \] Таким образом, длина диагонали \( BD \) равна \( \boxed{84} \).