Найдите производную функции: y=logx(x+1)

Для нахождения производной функции \( y = \log_x(x + 1) \) воспользуемся правилом производной логарифмической функции и формулой перехода к натуральному логарифму:

\[ y = \log_x(x + 1) = \frac{\ln(x + 1)}{\ln x} \]

Теперь применим правило произведения и частное производной к этой функции. Обозначим:

\[ u = \ln(x + 1), \quad v = \ln x \]

Тогда производная \( y \) будет равна:

\[ y' = \frac{u'}{v} - \frac{u v'}{v^2} \]

Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = \frac{1}{x + 1}, \quad v' = \frac{1}{x} \]

Теперь подставим эти производные в формулу:

\[ y' = \frac{\frac{1}{x + 1}}{\ln x} - \frac{\ln(x + 1) \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} \]

Упрощаем выражение:

\[ y' = \frac{1}{(x + 1) \ln x} - \frac{\ln(x + 1)}{x (\ln x)^2} \]

Это и есть производная функции \( y = \log_x(x + 1) \).