Чтобы найти площадь круга, в который вписан правильный шестиугольник, нам сначала потребуется определить радиус этого круга.
Шаг 1: Найдем радиус шестиугольника
Правильный шестиугольник может быть разбит на 6 равных равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет углы 30°, 60° и 90°. Радиус окружности, в которую вписан шестиугольник, равен длине его стороны ( a ).
Для нахождения площади правильного шестиугольника (площадь ( S )) можно использовать следующую формулу:
[
S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2
]
По условию задачи площадь шестиугольника равна ( 18 \sqrt{3} ):
[
\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = 18 \sqrt{3}
]
Шаг 2: Упростим уравнение
Сократим обе стороны уравнения на ( \sqrt{3} ):
[
\frac{3}{2} a^2 = 18
]
Теперь умножим обе стороны на 2:
[
3 a^2 = 36
]
Разделим обе стороны на 3:
[
a^2 = 12
]
Теперь извлечём квадратный корень:
[
a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
]
Шаг 3: Найдем радиус круга
Радиус ( R ) окружности, в которую вписан шестиугольник, равен длине его стороны ( a ):
[
R = a = 2 \sqrt{3}
]
Шаг 4: Найдем площадь круга
Площадь круга (S) вычисляется по формуле:
[
S = \pi R^2
]
Подставим найденный радиус:
[
S = \pi (2 \sqrt{3})^2
]
В расчете:
[
= \pi (4 \cdot 3) = 12\pi
]
Ответ
Площадь круга, в который вписан правильный шестиугольник со стороной ( 2\sqrt{3} ), составляет ( 12\pi ).
