. Из ящика, где хранятся 7 зеленых и 5 желтых шаров, продавец, не глядя, вынимает один за другим 3 шара. Найдите вероятность того, что: а) все шары окажутся зелеными; б) первый…

Для решения данной задачи мы применим основные понятия теории вероятностей. Разберем оба пункта по порядку.

Общая информация

У нас есть:

• 7 зеленых шаров (Z)
• 5 желтых шаров (Y)

Итого: \(7 + 5 = 12\) шаров.

а) Вероятность того, что все шары окажутся зелеными

Мы хотим найти вероятность того, что все три шара, которые продавец вытащит, будут зелеными. Для этого воспользуемся формулой для нахождения вероятности:

\[ P(A) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]

1. Число благоприятных исходов: Чтобы вытащить 3 зеленых шара из 7, мы можем воспользоваться комбинаторикой. Число способов выбрать 3 зеленых шара из 7 можно записать как \(C(7, 3)\):

   \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

2. Общее число исходов: Общее количество способов выбрать любые 3 шара из 12 можно записать как \(C(12, 3)\):

   \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \]

Теперь можем вычислить вероятность:

\[ P(\text{все шары зеленые}) = \frac{C(7, 3)}{C(12, 3)} = \frac{35}{220} = \frac{7}{44} \approx 0.1591 \]

б) Вероятность того, что первый шар - желтый, а второй и третий - зеленые

1. Вероятность того, что первый шар желтый:

   У нас 5 желтых шаров из 12. Вероятность вытащить желтый шар первой:

   \[ P(\text{первый Y}) = \frac{5}{12} \]

2. Вероятность того, что второй шар зеленый, после того как был вытащен желтый:

   После того, как вытащили желтый шар, у нас осталось 11 шаров (7 зеленых и 4 желтых). Вероятность вытащить зеленый шар:

   \[ P(\text{второй Z | первый Y}) = \frac{7}{11} \]

3. Вероятность того, что третий шар зеленый, после того, как были вытащены желтый и зеленый:

   После того, как мы вытащили желтый шар и один зеленый шар, у нас осталось 10 шаров (6 зеленых и 4 желтых). Вероятность вытащить зеленый шар:

   \[ P(\text{третий Z | первый Y, второй Z}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Теперь перемножим все эти вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что первый шар желтый, а второй и третий - зеленые:

\[ P(\text{Y, Z, Z}) = P(\text{первый Y}) \cdot P(\text{второй Z | первый Y}) \cdot P(\text{третий Z | первый Y, второй Z} \]

\[ P(\text{Y, Z, Z}) = \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{3}{5} \]

Упрощаем выражение:

\[ P(\text{Y, Z, Z}) = \frac{5 \times 7 \times 3}{12 \times 11 \times 5} = \frac{21}{132} = \frac{7}{44} \approx 0.1591 \]

Итоговые результаты

a) Вероятность того, что все шары окажутся зелеными: \(\frac{7}{44} \approx 0.1591\)

b) Вероятность того, что первый шар - желтый, а второй и третий - зеленые: \(\frac{7}{44} \approx 0.1591\)

Таким образом, в обоих случаях вероятность одинаковая.