Чтобы вычислить скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), можно использовать формулу:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
где:
- ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) соответственно,
- ( \theta ) — угол между векторами.
В нашем случае:
- ( |\mathbf{a}| = 7 )
- ( |\mathbf{b}| = 5 )
- ( \theta = 135^\circ )
Теперь подставим значения в формулу. Сначала нам нужно вычислить ( \cos(135^\circ) ). Важно помнить, что:
[
\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу скалярного произведения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
]
Упростим выражение:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 35 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{35\sqrt{2}}{2}
]
Теперь у нас есть ответ. Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{35\sqrt{2}}{2}
]
Итог
Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) при угле между ними в 135° составляет ( -\frac{35\sqrt{2}}{2} ). Это отрицательное значение указывает на то, что векторы имеют направление, которое в основном противоположно друг другу.
