найдите критические точки функции. определите какие из них являются точками максимума, а какие точками минимума. а) у=-х²-8х+2 б) у=15+48х-х³
Чтобы найти критические точки функции и определить, какие из них являются точками максимума, а какие - минимума, нужно выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Найти значения, при которых производная равна нулю (критические точки).
- Провести анализ функции в критических точках, используя вторую производную для определения типа критических точек.
Решение:
а) Для функции \( y = -x^2 - 8x + 2 \)
- Найдём производную:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^2 - 8x + 2) = -2x - 8 \]
- Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ -2x - 8 = 0 \\ -2x = 8 \\ x = -4 \]
- Найдём вторую производную:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2x - 8) = -2 \]
Анализ критической точки:
- Поскольку вторая производная отрицательна (\( -2 < 0 \)), то функция имеет максимум в точке \( x = -4 \).
Найдём значение функции в этой точке:
\[ y(-4) = -(-4)^2 - 8 \cdot (-4) + 2 \\ = -16 + 32 + 2 = 18 \]
Таким образом, для функции \( y = -x^2 - 8x + 2 \):
- Критическая точка: \( x = -4 \)
- Максимум: \( y = 18 \)
б) Для функции \( y = 15 + 48x - x^3 \)
- Найдём производную:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(15 + 48x - x^3) = 48 - 3x^2 \]
- Приравняем производную к нулю:
\[ 48 - 3x^2 = 0 \\ 3x^2 = 48 \\ x^2 = 16 \\ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \]
- Найдём вторую производную:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(48 - 3x^2) = -6x \]
Анализ критических точек:
- Для \( x = 4 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \cdot 4 = -24 \quad \text{(максимум)} \]
- Для \( x = -4 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \cdot (-4) = 24 \quad \text{(минимум)} \]
Найдём значения функции в этих точках:
Для \( x = 4 \): \[ y(4) = 15 + 48 \cdot 4 - 4^3 \\ = 15 + 192 - 64 \\ = 143 \quad \text{(максимум)} \]
Для \( x = -4 \): \[ y(-4) = 15 + 48 \cdot (-4) - (-4)^3 \\ = 15 - 192 + 64 \\ = -113 \quad \text{(минимум)} \]
Таким образом, для функции \( y = 15 + 48x - x^3 \):
- Критические точки: \( x = 4 \) (максимум, \( y = 143 \)) и \( x = -4 \) (минимум, \( y = -113 \))
Итог:
- Для функции \( y = -x^2 - 8x + 2 \): максимум в точке \( (-4, 18) \).
- Для функции \( y = 15 + 48x - x^3 \): максимум в точке \( (4, 143) \) и минимум в точке \( (-4, -113) \).
