Найдите критические точки функции. определите какие из них являются точками максимума, а какие точками минимума. а) у=-х²-8х+2 б) у=15+48х-х³

Чтобы найти критические точки функции и определить, какие из них являются точками максимума, а какие - минимума, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. 2. Найти значения, при которых производная равна нулю (критические точки). 3. Провести анализ функции в критических точках, используя вторую производную для определения типа критических точек. **Решение:** ### а) Для функции \( y = -x^2 - 8x + 2 \) 1. **Найдём производную:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^2 - 8x + 2) = -2x - 8 \] 2. **Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:** \[ -2x - 8 = 0 \\ -2x = 8 \\ x = -4 \] 3. **Найдём вторую производную:** \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2x - 8) = -2 \] 4. **Анализ критической точки:** - Поскольку вторая производная отрицательна (\( -2 < 0 \)), то функция имеет максимум в точке \( x = -4 \). 5. **Найдём значение функции в этой точке:** \[ y(-4) = -(-4)^2 - 8 \cdot (-4) + 2 \\ = -16 + 32 + 2 = 18 \] Таким образом, для функции \( y = -x^2 - 8x + 2 \): - Критическая точка: \( x = -4 \) - Максимум: \( y = 18 \) ### б) Для функции \( y = 15 + 48x - x^3 \) 1. **Найдём производную:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(15 + 48x - x^3) = 48 - 3x^2 \] 2. **Приравняем производную к нулю:** \[ 48 - 3x^2 = 0 \\ 3x^2 = 48 \\ x^2 = 16 \\ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \] 3. **Найдём вторую производную:** \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(48 - 3x^2) = -6x \] 4. **Анализ критических точек:** - Для \( x = 4 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \cdot 4 = -24 \quad \text{(максимум)} \] - Для \( x = -4 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \cdot (-4) = 24 \quad \text{(минимум)} \] 5. **Найдём значения функции в этих точках:** - Для \( x = 4 \): \[ y(4) = 15 + 48 \cdot 4 - 4^3 \\ = 15 + 192 - 64 \\ = 143 \quad \text{(максимум)} \] - Для \( x = -4 \): \[ y(-4) = 15 + 48 \cdot (-4) - (-4)^3 \\ = 15 - 192 + 64 \\ = -113 \quad \text{(минимум)} \] Таким образом, для функции \( y = 15 + 48x - x^3 \): - Критические точки: \( x = 4 \) (максимум, \( y = 143 \)) и \( x = -4 \) (минимум, \( y = -113 \)) ### Итог: - Для функции \( y = -x^2 - 8x + 2 \): максимум в точке \( (-4, 18) \). - Для функции \( y = 15 + 48x - x^3 \): максимум в точке \( (4, 143) \) и минимум в точке \( (-4, -113) \).