Даны точки А(2,0,5) В((2,4,-2) С(-2,6,3) серединой какого отрезка является точка М(0,3,4)?
Для решения данной задачи будем использовать понятие середины отрезка. Середина отрезка определяется как точка, координаты которой являются средними арифметическими координат начальной и конечной точек отрезка.
Для начала, давайте найдем середину отрезка, который соединяет две заданные точки. Для этого нам понадобятся формулы для нахождения координат середины отрезка.
Формула для середины отрезка: Если у нас есть две точки \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) и \( P_2(x_2, y_2, z_2) \), то координаты середины отрезка \( M \) можно выразить следующими формулами: \[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad M_z = \frac{z_1 + z_2}{2} \]
Теперь применим эту формулу.
1. Находим середину отрезка AB:
- Точка A(2, 0, 5)
- Точка B(2, 4, -2)
Координаты середины отрезка AB: \[ M_{AB_x} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ M_{AB_y} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ M_{AB_z} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Таким образом, середина отрезка AB — это точка \( M_{AB}(2, 2, 1.5) \).
2. Находим середину отрезка BC:
- Точка B(2, 4, -2)
- Точка C(-2, 6, 3)
Координаты середины отрезка BC: \[ M_{BC_x} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] \[ M_{BC_y} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ M_{BC_z} = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]
Таким образом, середина отрезка BC — это точка \( M_{BC}(0, 5, 0.5) \).
3. Находим середину отрезка AC:
- Точка A(2, 0, 5)
- Точка C(-2, 6, 3)
Координаты середины отрезка AC: \[ M_{AC_x} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] \[ M_{AC_y} = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ M_{AC_z} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Таким образом, середина отрезка AC — это точка \( M_{AC}(0, 3, 4) \).
Теперь сравниваем с заданной точкой M(0, 3, 4):
Мы видим, что координаты точки M совпадают с координатами середины отрезка AC \( M_{AC}(0, 3, 4) \). Это означает, что точка M является серединой отрезка AC.
Ответ: Точка M(0, 3, 4) является серединой отрезка AC.
