(2x÷sinx)'

Давайте разберем задачу о нахождении производной функции \( f(x) = \frac{2x}{\sin x} \).

Для нахождения производной этой функции нужно воспользоваться правилом дифференцирования дроби (правило Лейбница). Оно говорит, что если у нас есть функция вида \( \frac{u}{v} \), то производная находится по формуле:

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Где:

• \( u = 2x \)
• \( v = \sin x \)

Теперь найдем \( u' \) и \( v' \):

1. \( u' = (2x)' = 2 \) (производная от \( 2x \) равна 2)
2. \( v' = (\sin x)' = \cos x \) (производная от \( \sin x \) равна \( \cos x \))

Теперь подставим найденные значения в формулу:

\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Подставляем \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \):

\[ f'(x) = \frac{2 \cdot \sin x - 2x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} \]

Таким образом, мы получаем производную функции:

\[ f'(x) = \frac{2 \sin x - 2x \cos x}{\sin^2 x} \]

Итак, итоговая производная функции \( \frac{2x}{\sin x} \) равна:

\[ f'(x) = \frac{2 (\sin x - x \cos x)}{\sin^2 x} \]

Если что-то осталось непонятным или надо углубиться в детали, дайте знать!