На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1. Выразите вектор MP через векторы AB = а и AD = b.
Для решения задачи выразим вектор \( \vec{MP} \) через векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \).
Определим вектора вершин параллелограмма:
- Пусть точка \( B \) соответствует вектору \( \vec{B} \).
- Тогда точка \( A \) будет иметь вектор \( \vec{A} = \vec{B} - \vec{a} \).
- Точка \( D \) будет \( \vec{D} = \vec{B} + \vec{b} \).
- Точка \( C \) соответственно будет \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{b} = \vec{B} - \vec{a} + \vec{b} \).
Найдем координаты точек M и P:
Поскольку \( BM : MC = 2 : 5 \), мы можем выразить точку \( M \) как: \[ \vec{M} = \frac{5 \cdot \vec{B} + 2 \cdot \vec{C}}{2 + 5} = \frac{5 \cdot \vec{B} + 2 \cdot (\vec{B} - \vec{a} + \vec{b})}{7} = \frac{7 \cdot \vec{B} + 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot \vec{a}}{7} \] \[ \vec{M} = \vec{B} + \frac{2}{7} \vec{b} - \frac{2}{7} \vec{a} \]
Для точки \( P \) по отношению к \( C \) и \( D \) при \( CP : PD = 3 : 1 \): \[ \vec{P} = \frac{1 \cdot \vec{C} + 3 \cdot \vec{D}}{1 + 3} = \frac{\vec{C} + 3 \cdot (\vec{B} + \vec{b})}{4} = \frac{\vec{C} + 3 \cdot \vec{B} + 3 \cdot \vec{b}}{4} \] \[ \vec{P} = \frac{(\vec{B} - \vec{a} + \vec{b}) + 3 \cdot \vec{B} + 3 \cdot \vec{b}}{4} = \frac{4 \cdot \vec{B} - \vec{a} + 4 \cdot \vec{b}}{4} \] \[ \vec{P} = \vec{B} - \frac{1}{4} \vec{a} + \vec{b} \]
Теперь найдем вектор \( \vec{MP} \): \[ \vec{MP} = \vec{P} - \vec{M} \] Подставим значения \( \vec{P} \) и \( \vec{M} \): \[ \vec{MP} = \left( \vec{B} - \frac{1}{4} \vec{a} + \vec{b} \right) - \left( \vec{B} + \frac{2}{7} \vec{b} - \frac{2}{7} \vec{a} \right) \] Упрощаем: \[ \vec{MP} = -\frac{1}{4} \vec{a} + \vec{b} - \frac{2}{7} \vec{b} + \frac{2}{7} \vec{a} \] Сложим векторы: \[ = \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) \vec{a} + \left( \vec{b} - \frac{2}{7} \vec{b} \right) \] Вектор \( \vec{b} \) можно факторизовать: \[ = \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) \vec{a} + \left(1 - \frac{2}{7}\right) \vec{b} \] Решим: \[ = \left(-\frac{7}{28} + \frac{8}{28}\right) \vec{a} + \left(\frac{5}{7}\right) \vec{b} \] \[ = \frac{1}{28} \vec{a} + \frac{5}{7} \vec{b} \]
Таким образом, вектор \( \vec{MP} \) выражается через векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) как: \[ \vec{MP} = \frac{1}{28} \vec{a} + \frac{5}{7} \vec{b} \]
