Найти угол между векторами а {7;9} и b {9;-7}.

Для нахождения угла между двумя векторами можно использовать формулу, основанную на скалярном произведении векторов.

Шаг 1: Определим векторы

Векторы:

• \( \mathbf{a} = (7, 9) \)
• \( \mathbf{b} = (9, -7) \)

Шаг 2: Используем формулу скалярного произведения

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) определяется как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \] где \( a_x \) и \( a_y \) — компоненты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_x \) и \( b_y \) — компоненты вектора \( \mathbf{b} \).

Подставим значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \cdot 9 + 9 \cdot (-7) = 63 - 63 = 0 \]

Шаг 3: Найдем длины векторов

Длина вектора вычисляется по формуле: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]

Для вектора \( \mathbf{a} \): \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \]

Для вектора \( \mathbf{b} \): \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{9^2 + (-7)^2} = \sqrt{81 + 49} = \sqrt{130} \]

Шаг 4: Используем формулу для нахождения угла

Угол \( \theta \) между векторами можно найти с использованием следующей формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} \]

Подставим найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{130} \cdot \sqrt{130}} = \frac{0}{130} = 0 \]

Шаг 5: Находим угол

Если \( \cos(\theta) = 0 \), это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).

Ответ

Угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( 90^\circ \). Векторы перпендикулярны друг другу.