Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), B(3;2;1), C(6;4;4). Найти четвертую вершину Д.

Для нахождения четвертой вершины параллелограмма, используя координаты трех заданных вершин, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую из них пополам.

Обозначим вершины параллелограмма как:

• \( A(1, -2, 3) \)
• \( B(3, 2, 1) \)
• \( C(6, 4, 4) \)
• \( D(x, y, z) \) - искомая вершина.

В параллелограмме можно утверждать, что середина диагонали \( AC \) равна середине диагонали \( BD \). Сначала найдем координаты середины отрезков \( AC \) и затем приравняем их к середине отрезка \( BD \).

Шаг 1: Находим координаты середины отрезка \( AC \)

Координаты середины отрезка рассчитываются по формуле: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \]

Подставим значения:

• \( A(1, -2, 3) \)
• \( C(6, 4, 4) \)

\[ M_{AC} = \left( \frac{1 + 6}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + 4}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{2}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( 3.5, 1, 3.5 \right) \]

Шаг 2: Находим координаты середины отрезка \( BD \)

Теперь найдем среднюю точку \( BD \): \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \]

Теперь подставляем координаты точки \( B(3, 2, 1) \) и \( D(x, y, z) \). Таким образом, у нас есть: \[ M_{BD} = \left( \frac{3 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}, \frac{1 + z}{2} \right) \]

Шаг 3: Приравниваем координаты середины отрезков

Теперь у нас есть равенство: \[ M_{AC} = M_{BD} \]

По координатам:

1. \( \frac{3 + x}{2} = 3.5 \)
2. \( \frac{2 + y}{2} = 1 \)
3. \( \frac{1 + z}{2} = 3.5 \)

Решаем системы уравнений

1. \( \frac{3 + x}{2} = 3.5 \)

Умножим обе стороны на 2: \[ 3 + x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 7 - 3 = 4 \]

2. \( \frac{2 + y}{2} = 1 \)

Умножим обе стороны на 2: \[ 2 + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 0 \]

3. \( \frac{1 + z}{2} = 3.5 \)

Умножим обе стороны на 2: \[ 1 + z = 7 \quad \Rightarrow \quad z = 7 - 1 = 6 \]

Шаг 4: Записываем ответ

Таким образом, координаты искомой вершины \( D \): \[ D(4, 0, 6) \]

Ответ:

Четвертая вершина параллелограмма \( D(4, 0, 6) \).