Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) =x^3-3x^2+32x-7
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x - 7 \), будем следовать следующему алгоритму:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем первую производную функции \( f'(x) \). Производная покажет, как изменяется функция по отношению к \( x \).
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(32x) - \frac{d}{dx}(7) \]
Выразим каждую производную:
- \( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)
- \( \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \)
- \( \frac{d}{dx}(32x) = 32 \)
- \( \frac{d}{dx}(7) = 0 \)
Теперь подставим это в формулу для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 32 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. У нас в данном случае производная всегда существует, поэтому ищем решения уравнения:
\[ 3x^2 - 6x + 32 = 0 \]
Применим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 36 - 384 = -348 \]
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что производная не равна нулю на всей числовой прямой.
Шаг 3: Исследование знака производной
Так как \( 3x^2 - 6x + 32 \) — это парабола, открывающаяся вверх (ведущая коэффицент 3 положителен), и она не пересекает ось абсцисс, мы можем заключить, что производная всегда положительна.
Это означает: \[ f'(x) > 0 \quad \text{для всех } x \]
Шаг 4: Заключение о возрастании/убывании функции
Так как производная функции положительна для всех \( x \), мы можем сделать вывод, что функция \( f(x) \) является возрастающей на всей числовой оси:
- Интервал возрастания: \( (-\infty, +\infty) \)
- Интервал убывания: отсутствует (функция не убывает).
Итог
Функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x - 7 \) возрастает на интервале \( (-\infty, +\infty) \) и не имеет интервалов убывания.
