два автомата разной мощности изготовили за 2 часа 55 минут некоторое количество деталей, за какое время это количество деталей могут бы изготовить первый автомат, если известно,…
Два автомата разной мощности изготовили за 2 часа 55 минут некоторое количество деталей, за какое время это количество деталей могут бы изготовить первый автомат, если известно, что ему для этого потребуется на 2 часа больше, чем второму автомату?
Для решения этой задачи давайте обозначим некоторые переменные:
- Пусть \( t \) — время, за которое второй автомат изготовит детали в часах.
- Таким образом, первый автомат изготовит детали за \( t + 2 \) часа.
Далее, мы знаем, что оба автомата вместе изготовили детали за 2 часа 55 минут. Преобразуем 55 минут в часы:
\[ 2 \text{ часа } 55 \text{ минут} = 2 + \frac{55}{60} = 2 + \frac{11}{12} = \frac{24}{12} + \frac{11}{12} = \frac{35}{12} \text{ часа} \]
Теперь можем рассмотреть мощности обоих автоматов. Пусть \( A_1 \) и \( A_2 \) — мощности первого и второго автоматов соответственно, измеренные в деталях за час. Их производительность можно выразить как:
- Производительность первого автомата: \( \frac{1}{t + 2} \) (количество деталей, которое он делает за час),
- Производительность второго автомата: \( \frac{1}{t} \).
Теперь общая производительность двух автоматов в течение времени \( \frac{35}{12} \) часов выражается следующим образом:
\[ \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 2} \right) \cdot \frac{35}{12} = 1, \]
где 1 соответствует единице произведенной продукции.
Теперь решим это уравнение:
Сложим дроби: \[ \frac{(t + 2) + t}{t(t + 2)} = \frac{2t + 2}{t(t + 2)} = \frac{2(t + 1)}{t(t + 2)}. \]
Подставим в уравнение: \[ \frac{2(t + 1)}{t(t + 2)} \cdot \frac{35}{12} = 1. \]
Умножим обе стороны на \( 12t(t + 2) \): \[ 2(t + 1) \cdot 35 = 12t(t + 2). \]
Упростим: \[ 70(t + 1) = 12t^2 + 24t, \] \[ 70t + 70 = 12t^2 + 24t. \] \[ 12t^2 + 24t - 70t - 70 = 0, \] \[ 12t^2 - 46t - 70 = 0. \]
Применим формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \): \[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-70) = 2116 + 3360 = 5476. \]
Найдем корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm \sqrt{5476}}{24}. \] \(\sqrt{5476} = 74\), тогда: \[ t_1 = \frac{46 + 74}{24} = \frac{120}{24} = 5, \] \[ t_2 = \frac{46 - 74}{24} = \frac{-28}{24} \text{ (отрицательное, игнорируем)}. \]
Таким образом, \( t = 5 \) часов — это время, за которое второй автомат изготовит детали. Итак, первый автомат будет работать:
\[ t + 2 = 5 + 2 = 7 \text{ часов}. \]
Итак, ответ: Первый автомат может изготовить детали за 7 часов.
