Для решения этой задачи давайте обозначим некоторые переменные:
- Пусть ( t ) — время, за которое второй автомат изготовит детали в часах.
- Таким образом, первый автомат изготовит детали за ( t + 2 ) часа.
Далее, мы знаем, что оба автомата вместе изготовили детали за 2 часа 55 минут. Преобразуем 55 минут в часы:
[
2 \text{ часа } 55 \text{ минут} = 2 + \frac{55}{60} = 2 + \frac{11}{12} = \frac{24}{12} + \frac{11}{12} = \frac{35}{12} \text{ часа}
]
Теперь можем рассмотреть мощности обоих автоматов. Пусть ( A_1 ) и ( A_2 ) — мощности первого и второго автоматов соответственно, измеренные в деталях за час. Их производительность можно выразить как:
- Производительность первого автомата: ( \frac{1}{t + 2} ) (количество деталей, которое он делает за час),
- Производительность второго автомата: ( \frac{1}{t} ).
Теперь общая производительность двух автоматов в течение времени ( \frac{35}{12} ) часов выражается следующим образом:
[
\left( \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 2} \right) \cdot \frac{35}{12} = 1,
]
где 1 соответствует единице произведенной продукции.
Теперь решим это уравнение:
Сложим дроби:
[
\frac{(t + 2) + t}{t(t + 2)} = \frac{2t + 2}{t(t + 2)} = \frac{2(t + 1)}{t(t + 2)}.
]
Подставим в уравнение:
[
\frac{2(t + 1)}{t(t + 2)} \cdot \frac{35}{12} = 1.
]
Умножим обе стороны на ( 12t(t + 2) ):
[
2(t + 1) \cdot 35 = 12t(t + 2).
]
Упростим:
[
70(t + 1) = 12t^2 + 24t,
]
[
70t + 70 = 12t^2 + 24t.
]
[
12t^2 + 24t - 70t - 70 = 0,
]
[
12t^2 - 46t - 70 = 0.
]
Применим формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения ( at^2 + bt + c = 0 ):
[
D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-70) = 2116 + 3360 = 5476.
]
Найдем корни уравнения:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm \sqrt{5476}}{24}.
]
(\sqrt{5476} = 74), тогда:
[
t_1 = \frac{46 + 74}{24} = \frac{120}{24} = 5,
]
[
t_2 = \frac{46 - 74}{24} = \frac{-28}{24} \text{ (отрицательное, игнорируем)}.
]
Таким образом, ( t = 5 ) часов — это время, за которое второй автомат изготовит детали. Итак, первый автомат будет работать:
[
t + 2 = 5 + 2 = 7 \text{ часов}.
]
Итак, ответ: Первый автомат может изготовить детали за 7 часов.
