Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Радиус окружности ( r = 4 ) см
- Градусная мера дуги ( \alpha = 120^\circ )
1. Вычисление длины дуги
Длина дуги ( L ) окружности вычисляется по формуле:
[
L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r
]
Подставим известные значения:
[
L = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \pi \cdot 4
]
Сначала упростим дробь:
[
\frac{120}{360} = \frac{1}{3}
]
Теперь подставляем:
[
L = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi \cdot 4
]
[
L = \frac{8 \pi}{3}
]
Для более конкретного значения можно подставить ( \pi \approx 3.14 ):
[
L \approx \frac{8 \cdot 3.14}{3} \approx \frac{25.12}{3} \approx 8.37 \text{ см}
]
Таким образом, длина дуги окружности составляет примерно ( 8.37 ) см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Площадь круга ( S ) рассчитывается по формуле:
[
S = \pi r^2
]
Площадь сектора с углом ( \alpha ) можно вычислить по следующей формуле:
[
S_{sector} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S
]
Подставим формулу для площади круга:
[
S_{sector} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2
]
[
S_{sector} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (4)^2
]
[
S_{sector} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 16
]
[
S_{sector} = \frac{16 \pi}{3}
]
Для приближенного значения можно снова использовать ( \pi \approx 3.14 ):
[
S_{sector} \approx \frac{16 \cdot 3.14}{3} \approx \frac{50.24}{3} \approx 16.75 \text{ см}^2
]
Ответы:
- Длина дуги окружности ( L \approx 8.37 ) см
- Площадь кругового сектора ( S_{sector} \approx 16.75 ) см²
Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
