Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если её гра-дусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего дан-ной дуге кругового сектора?
Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Радиус окружности \( r = 4 \) см
- Градусная мера дуги \( \alpha = 120^\circ \)
1. Вычисление длины дуги
Длина дуги \( L \) окружности вычисляется по формуле: \[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r \]
Подставим известные значения: \[ L = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \pi \cdot 4 \]
Сначала упростим дробь: \[ \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \]
Теперь подставляем: \[ L = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi \cdot 4 \] \[ L = \frac{8 \pi}{3} \]
Для более конкретного значения можно подставить \( \pi \approx 3.14 \): \[ L \approx \frac{8 \cdot 3.14}{3} \approx \frac{25.12}{3} \approx 8.37 \text{ см} \]
Таким образом, длина дуги окружности составляет примерно \( 8.37 \) см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Площадь круга \( S \) рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r^2 \]
Площадь сектора с углом \( \alpha \) можно вычислить по следующей формуле: \[ S_{sector} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S \]
Подставим формулу для площади круга: \[ S_{sector} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] \[ S_{sector} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (4)^2 \] \[ S_{sector} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 16 \] \[ S_{sector} = \frac{16 \pi}{3} \]
Для приближенного значения можно снова использовать \( \pi \approx 3.14 \): \[ S_{sector} \approx \frac{16 \cdot 3.14}{3} \approx \frac{50.24}{3} \approx 16.75 \text{ см}^2 \]
Ответы:
- Длина дуги окружности \( L \approx 8.37 \) см
- Площадь кругового сектора \( S_{sector} \approx 16.75 \) см²
Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
